Page 77 - 水利学报2021年第52卷第6期

二维水沙数值模块
水位、流速、水温及水流拖曳力 二维水冰沙耦合数学模型 崩岸土体再分布位置
冰厚、冰速、冰深度及冰摩擦力

水流切应力、挟沙力及河床高程
岸滩侵蚀速率、岸坡稳定坡面及
断面形态、岸滩坡角、
泥沙粒径及干湿界面
河冰动力学模块 岸滩侵蚀模块
河冰的撞击、刮擦、切蚀作
用力及河冰影响区域
图 2 二维水冰沙耦合数学模型
3.2 数学模型的构建 基于沈洪道团队长期开发的河冰动力学模型和河冰水力学理论 ［17］ ，本文建立
了二维水冰沙耦合数学模型，以研究冰盖和流凌作用下的泥沙输移、河床演变及岸滩崩塌侵蚀问
题。该模型耦合了水动力过程、热力学过程、河冰运动、泥沙输运、岸滩侵蚀和河床演变过程，模
型框架及功能见图 2。该模型包括二维水沙数值模块、河冰动力学模块和岸滩侵蚀模块三部分。其
中，二维水沙数值模块采用基于非结构网格的有限元法计算非恒定水流运动、推移质输沙率和河道
冲淤变形，河冰动力学模块利用无网格的光滑粒子法计算河冰的运动、分布、水力和动力加厚过
程，而岸滩侵蚀模块采用双泥沙休止角法计算岸坡崩塌和土体再分布。通过给定耦合时间下的信息
传递和反馈，调整变化河冰条件下的水流和泥沙过程，进而实现河流冰期水冰沙耦合过程的模拟。
以下分节给出三个模块的控制方程和计算方法。
3.3 二维水沙数值模块 二维水沙数值模块包括二维浅水运动、泥沙输运和河床变形三个部分。基
于上层浮冰和下层水体的双层流体系，考虑河冰阻力和质量引起的水位流量变化，北方河流河冰影
响下的二维浅水方程组为 ［69］ ：
∂H + ∂q tx + ∂q ty = ( )
'
∂
Ct
∂t ∂x ∂y ∂t i （3）
æ q 2 ö æ q q ö é∂T ∂T ù ∂η
ç
q
∂ ( ) + ∂∂ tx ÷ + ∂∂ tx ty = 1 xx + yx + τ - τ - gH （4）
∂t tx ∂x ç H ÷ ∂y ç ç H ÷ ÷ ρ ê ê ∂x ∂y sx bx ú ú t ∂x
è t ø è t ø ë û
æ q 2 ö æ q q ö é ∂T ∂T ù ∂η
ç
∂ ( ) + ∂∂ ty ÷ + ∂∂ tx ty = 1 yy + xy + τ - τ - gH （5）
q
∂t ty ∂y ç H ÷ ∂x ç ç H ÷ ÷ ρ ê ê ∂y ∂x sy by ú ú t ∂y
è t ø è t ø ë û
式 中 ： x、y 为 平 面 直 角 坐 标 ， m； t 为 时 间 变 量 ， s； q 、q ty 为 两 个 坐 标 方 向 上 的 单 宽 流 量 ，
tx
m /s ； t ′ 为淹没在水下的冰厚，m； H 为总水深包括河冰的影响，m； H 为单宽流量对应的有效
2
i
t
水深，m；C 为河冰的面密度或河冰面积占整个河面的比例； T 、T 、T 、T yy 分别为不同方向和作
xx
xy
yx
用面上的切应力沿水深的积分值， N/m ； ρ 为水体密度， kg/m ； τ 、τ 分别为两个方向上的表面
3
sx
sy
冰对水体的切应力，Pa； τ 、τ by 分别为两个方向上的床面切应力，Pa； η 为水面高程，m。
bx
浅水方程组采用基于三角形非结构网格的有限元方法求解，能准确描述复杂地形下不规则河道边
界。该有限元法基于具有迎风特性的皮德罗夫-盖尔金（Petrov-Galerkin）算法，能有效捕捉干湿边界并适
应急缓流变化的条件，甚至能模拟溃坝引起的洪水波传播过程，在多个国家众多河流开展了应用 ［4，17］ 。
Knack 和 Shen 在总结已有实验和原型资料的基础上，提出适应冰盖条件和流凌影响下的推移质
［3］
输沙率公式 。基于该公式和非平衡非均匀沙方程，考虑河冰影响的泥沙质量守恒方程为 ［72］ ：
æ q ö
∂ ç bk ÷ ∂( α ′ q ) ∂( α ′ q )
è u bk ø + bx bk + by bk + ( 1 - p ′ æ ∂z b ö （6）
∂t ∂x ∂y m )ç è ∂t ÷ = 0 — 705 —
ø
k