Page 9 - 2023年第54卷第2期
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周应力来判断裂纹是否启裂以及启裂后的扩展方向,并提出了裂纹扩展与追踪技术,实现了节理岩体
              变形破坏全过程模拟。
              4.1 节理尖端应力强度因子计算方法 在平面断 裂力学 问 题 中,节 理裂 隙 按 受力 情况 分为 张开型
              ( Ⅰ型)和剪切型( Ⅱ型)两种基本形式(图 7),其应力强度因子 K 和 K 可通过构造辅助应力位移场,
                                                                         Ⅰ     Ⅱ
              利用围线积分理论求得。围线积分理论如图 8所示,辅助应力位移场计算公式如式(1)所示                                         [16] :
                                  1        3 θ 3       5 θ           3 θ 3       5 θ
                                                                                    C
                              =      3 ([ cos - sin θ sin  ) (                     ) ]
                                                          C + - 2sin - sin θ cos
                            σ xx                            Ⅰ                         Ⅱ
                                            2 2         2            2 2         2
                                槡 2 π r
                                  1        3 θ 3       5 θ     3       5 θ
                              =      3 ([ cos + sin θ sin  ) C + sin θ cos C ]
                            σ yy                            Ⅰ              Ⅱ
                                            2 2         2      2        2
                                槡 2 π r
                                  1    3       5 θ        3 θ 3      5 θ
                                                     (
                              =       [  sin θ cos C + cos - sin θ sin  ) ]
                                                                         C
                            τ xy                                                                        (1)
                                    3 2         2  Ⅰ      2 2         2   Ⅱ
                                槡 2 π r
                                  1                θ        3 θ               θ        3 θ
                            u =       3 [{  (1 - k)cos + sin θ sin  ] [                  ] }
                                                               C + (1 + k)sin + sin θ cos
                                                                                           C
                                                   2        2    Ⅰ            2         2   Ⅱ
                              2G 2 π r
                                 槡
                                  1               θ        3 θ                θ        3 θ
                            v =       3 [{  (1 + k)sin - sin θ sin  ] [                  ] }
                                                               C + (k - 1 )cos + sin θ sin
                                                                                          C
                                                                Ⅰ                           Ⅱ
                              2 G 2 π r           2         2                 2        2
                                 槡
                                为裂纹尖端辅助应力场分量;u、v为辅助位移场分量;r、θ 为以裂纹尖端为原点
              式中:σ xx  、σ yy 、τ xy
                                                 3
              的极坐标分量;C - i C = 2 2 πlim zφ ′(z),其中 φ (z)为用于描述平面问题应力位移场的复变函数;
                                       槡
                                               槡
                              Ⅰ    Ⅱ
                                            x → 0
              k为体积模量。



                        图 7 平面问题中节理裂隙尖端的两种基本形式                                  图 8 围线积分理论示意图


                                       )上的功    ∮                    )上的功 -    ∮
                                                                                Tds可分别用式 (2)和式 (3)
                  裂缝尖端远场围线( Γ 1                 Γ 1 Tds和近场围线( Γ 2              Γ 2
              表示:
                                                   ∮       Ⅰ  Ⅰ   Ⅱ  Ⅱ                                  (2)
                                                     Tds = m C + m C
                                                    Γ 1
                                                        k + 1
                                                   Tds =
                                               - ∮         (K C + K C )                                 (3)
                                                                 Ⅰ
                                                              Ⅰ
                                                                     Ⅱ
                                                                       Ⅱ
                                                        2 G
                                                  Γ 2
              式中:G为剪切模量;m 、m 为线性表达式的系数。
                                    Ⅰ    Ⅱ
                  利用辅助应力位移场,通过式(2)可直接求得 m 、m 。再利用 Betti功互等原理就可计算得到裂
                                                              Ⅰ    Ⅱ
              缝尖端应力强度因子 K 和 K (式(4)):
                                   Ⅰ    Ⅱ
                                                             2 G
                                                        K =    m
                                                         Ⅰ       Ⅰ
                                                            k + 1
                                                                                                        (4)
                                                             2 G
                                                        K =    m
                                                         Ⅱ       Ⅱ
                                                            k + 1
                                                                                                —  1 3 3 —
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