Page 110 - 2023年第54卷第3期

质守恒。
（ １）城区汇水单元水量平衡约束：基于联立求解连续方程和曼宁公式，采用非线性水库处理进行
汇水单元汇流过程演算，连续方程计算公式如（ ４）所示：
ｄＶ ｄｄ － ３

＝ Ａ ＝ １０·Ａ·ｉ－ Ｑ （４）
ｄｔ ｄｔ
３
２

式中：Ｖ ＝ Ａ·ｄ为地表积水量，ｍ ；ｄ为水深，ｍ；Ａ为汇水单元面积，ｍ ；ｉ为净雨强度，ｍｍ?ｈ，等
于降水量、蒸发量、下渗量三者的矢量和，下渗量采用 Ｈｏｒｔｏｎ模型计算，具体计算公式见文献［２０］；
３
Ｑ为汇水单元出流量，ｍ ?ｓ。
曼宁方程计算公式如下所示：
１ ．４９
１?２
Ｑ ＝ ＷＳ （ｄ － ｄ） ５?３ （５）
ｓ
ｎ
式中：ｎ为曼宁系数；Ｗ为汇水单元漫流宽度，ｍ；Ｓ为汇水单元坡度；ｄ为地表填洼水深，ｍ。
ｓ
联立合并计算式（ ４）和（５），推导汇水单元水深 ｄ随时间 ｔ变化的非线性微分方程，计算公式如下
所示：
－ ３

ｄｄ １０·ｉ １ ．４９ＷＳ １?２
＝ － （ｄ － ｄ） ５?３ （６）
ｄｔ ３６００ Ａｎ ｓ
由于式（ ６）在数学上难以求得解析解，采用 Ｎｅｗ － Ｒａｐｈｓｏｎ迭代法求解未知变量 ｄ。
（ ２）管网非恒定流质量和动量守恒约束：基于求解完整的一维圣维南流量方程，采用动力波计算
方法进行城区管道或明渠的流量演算，求解方程包括管道或明渠的连续性方程和动量方程以及连接点
的流量连续性方程。动力波计算方法将连接点水位和管道中流量融合在一起，适用于城区管道复杂的
水流现象，能够计算管道储蓄、回水、有压满管流、逆向流、检查井溢流等。
通过联立推导管道或明渠的连续性方程和动量方程，可得到空间变化的非恒定流方程，计算公式
如下所示：
 Ｑ  Ａ ２  Ａ  Ｈ
＝ ２Ｕ ＋ Ｕ － ｇＡ － ｇＡＳ （７）
 ｔ  ｔ  ｘ  ｘ ｆ
３
２
式中：Ｑ为通过管道或明渠的流量，ｍ ?ｓ；Ｕ为流速，ｍ?ｓ；Ａ为过水断面，ｍ ；Ｈ为水头，ｍ；Ｓ为
ｆ
摩阻坡度，采用曼宁公式确定，计算公式如下所示。
Ｋ
Ｓ＝ Ｑ Ｕ （８）
ｆ
ｇＡＲ ４?３
２
式中：Ｋ ＝ ｇ（ｎ?１．４９），ｎ为曼宁系数；流速项采用绝对值符号，确保摩擦阻力与水流方向相反。
式（ ７）和（８）中的主要未知数为 Ｑ、Ｈ，同时，Ｕ、Ｒ、Ａ均与 Ｑ和 Ｈ相关，因此还需要建立 Ｑ与 Ｈ
相关的计算方程。引入管道或渠道连接点的连续方程，计算公式如下所示：
 Ｖ  Ｖ  Ｈ  Ｈ
∑
＝ ＝ Ａ ＝ Ｑ （９）
 ｔ  Ｈ ｔ ｓ  ｔ
２
３
３
式中：Ｖ为节点的水量体积，ｍ ；Ａ为节点的自由表面积，ｍ ； ∑ Ｑ为进出节点的流量，ｍ ?ｓ。
ｓ
式（７）和（９）为管道或明渠动量方程和节点连续方程的偏微分形式，为进一步采用数值法求解，采
用有限差分法对公式进行离散，其有限差分形式分别如式（ １０）和（１１）所示：
１ — — — Ａ－ Ａ １ — Ｈ － Ｈ １
２
２
Ｑ ＝ （Ｑ＋ ２ Ｕ Δ Ａ ＋ Ｕ ２ Δ ｔ － ｇＡ Δ ｔ） （１０）
ｔ ＋ Δ ｔ — — ｔ Ｌ Ｌ
３?４
１ ＋ （Ｋ Δ ｔ?Ｒ ） Ｕ
∑ Ｑ Δ ｔ
Ｈ ｔ ＋ Δ ｔ ＝ Ｈ＋ （１１）
ｔ
Ａ
ｓ
３
式中：Ｑ 、Ｑ为 ｔ ＋ Δ ｔ、ｔ时刻管道或明渠的流量，ｍ ?ｓ；Ｈ 、Ｈ为 ｔ ＋ Δ ｔ、ｔ时刻管道或明渠的水头，
ｔ
ｔ ＋ Δ ｔ
ｔ ＋ Δ ｔ
ｔ
— — — ３
ｍ；脚标 １、２分别表示管道或明渠的上下游端；Ｕ、 Ｒ、 Ａ为 ｔ时刻的管道或明渠的平均流速，ｍ ?ｓ、
０
— ３ ６ —