Page 7 - 水利学报2021年第52卷第5期

式中：I 为差异度系数，取值随集对的不同对立关系而不同，本文所研究集对属于正负型对立关系，
［22］
一般在［-1，1］上取值；J 为对立度系数，本文所研究集对属于正负型对立关系，一般取-1 。
依据式（5）可计算评价样本 i 的指标值联系数 u ［12］ ：
i
n j n j n j
u i = ν i1 + ν i2 I + ν i3 J = ∑ w j ν ij1 + ∑ w j ν ij2 I + ∑ w j ν ij3 J (i = 1，2，⋯，n i ) （6）
j = 1 j = 1 j = 1
式中：w 为第 j 个评价指标的权重。
j
（3）运用级别特征值法 ［24］ 计算灌区水资源承载力评价结果 ［12］ ：
3
h( ) i = å ν k （7）
ik
k = 1
（4）计算灌区水资源承载力评价样本 i 各联系数的集对势和偏联系数，用于判别灌区水资源承载
状态发展趋势、识别承载力脆弱性指标。三元联系数 ［22］ :
u = a + bI + cJ （8）
的减法集对势为 ［12］ :
]
]
s ( ) u = [a + ba - [c + bc = (a - c )(1 + b ) （9）
1
其应用效果优于常用的除法集对势 ［22］ :
s ( ) u = a c (当c ≠ 0 ) （10）
2
式中：a、b、c 分别为集对的同一度、差异度和对立度 ［22］ ，它们分别表示集对中两集合间符合同一、
差异和对立程度的模糊关系。
式（9）的减法集对势对任何三元联系数都是普遍适用的，而式（10）常用的除法减法集对势，当对
立度 c 接近于 0 时其计算值是不稳定的。目前主要是这两种集对势的构造方法，其中减法集对势的值
与联系数的宏观确定性值是一致的，均在［-1，1］上取值，这有助于对减法集对势进行离散、分等级
判别，而除法集对势的值的变化范围很大 ［22］ 、不易分等级判别。
集对势反映集对系统在当前宏观确定性上的发展趋势 ［22，25］ 。其中，减法集对势处于反势或偏反势
状态的水资源承载力评价指标可认为是脆弱性要素、是需要重点调控的 ［12］ 。
偏联系数反映集对系统在当前微观确定性上的发展趋势 ［26-27］ 。式（8）一阶效应全偏联系数 p（u）为 ［28］ ：
1
)
)
)
)
p ( ) u = a (a + b + b (b + c I + b (a + b I + c (b + c J （11）
1 1 2
ù
ù
)
)
)
)
式中： I = [ a (a + b ] ) é a (a + b + b (b + c ； I = -[ c (b + c ] ) é b (a + b + c (b + c ；J= -1 ［28］ 。
1 ë û 2 ë û
研究表明式（11）的一阶效应全偏联系数更符合偏联系数的内涵定义和实际情况，为判别集对系
统的发展趋势提供了有效途径 ［26］ 。需进一步指出的是，联系数、偏联系数中的不确定性项中包含有
集对系统的状态及其发展趋势的重要信息，似不宜通过现有的高阶偏联系数 ［27］ 来消除这些联系分量
的不确定性。
可以验证，三元联系数的一阶效应全偏联系数 p（u）值与减法集对势 s（u）值非常接近 ［28］ ，这说明
1 1
它们均反映集对系统当前状态的总体确定性发展趋势，只不过偏联系数是从微观角度、集对势是从
宏观角度来刻画这些发展趋势的 ［13］ 。为此，构造式（9）减法集对势的基本思想就是如何合理地把含有
确定性不确定性变化趋势信息的三元联系数转化为确定性的总体发展趋势，即把差异度 b 按照 a/（a+
b+c）、c/（a+b+c）的比例分别分配到同一度 a 和对立度 c 中去；而从偏联系数的同异反相互变化的观点
看，要把 b 的某部分值变化到 a 上，那合理的解释是原来的 a 也是从 b 正向变化而来的，所以这部分
变化到 a 上的值的比例取 a/（a+b）（一阶偏正联系数的首项）比取 a/（a+b+c）更合理，同理，要把 b 的某
部分值变化到 c上，那合理的解释是原来的 c是从 b 负向变化而来的，所以这部分变化到 c上的值的比例
取 c/（b+c）（一阶偏负联系数的末项）比取 c/（a+b+c）更合理，于是可构造三元联系数的一种伴随函数 ［13-14］ ：

ì-1 (当a + b = 0时 )
ï ï
s ( ) u = í 1 (当b + c = 0时 ) （12）
] ) [
[
3
ï ï a + ba (a + b - c + bc (b + c ] ) (当a + b ≠ 0、b + c ≠ 0时 )
î
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