Page 98 - 水利学报2025年第56卷第3期

支配解集作进一步处理，通过对非支配解排序，选出最逼近理想解的多目标优化最优方案，便于与
ＩＳＣＳＯ － ＦＬ多目标优化方法得到的唯一最优解进行比较。对测试函数 Ｐａｒｅｔｏ前沿 中的 非支 配 解进行
ＴＯＰＳＩＳ多准则决策排序，将排序后得到的测试函数最优解作为目标空间的真实最优解，通过对比不
同方法得到的最优解与目标空间真实最优解之间的欧氏距离 Ｄ进行解的质量分析 ［２６］ ：
ｍ
Ｄ＝ ∑ ［ｆ（ｘ） － ｆ （ｘ ）］ ２ （１２）
槡
ｉ
ｂｅｓｔ
ｉ
ｉ ＝１
式中：ｆ（ｘ）为不同方法最优解的第 ｉ个优化目标函数值；ｆ（ｘ ）为真实最优解第 ｉ个优化目标函数值。
ｉ ｉ ｂｅｓｔ
ＩＳＣＳＯ － ＦＬ方 法、ＭＯＰＳＯ算 法 和 ＮＳＧＡ－ Ⅲ 表 １ 不同优化方法最优解与真实最优解之间的欧氏距离
算法得到的最优解与目标空间真实最优解之间的 欧氏距离 Ｄ
测试函数
欧氏距离 Ｄ如表 １所示，ＩＳＣＳＯ － ＦＬ方法在二目
ＩＳＣＳＯ － ＦＬ ＭＯＰＳＯ ＮＳＧＡ － Ⅲ
标优化测试函数和三目标优化测试函数中得到的 ＺＤＴ１ ０．０１２４ ０．０６００ ０．１０７１
最优解与真实最优解之间的欧氏距离 Ｄ分别仅有 ＺＤＴ３ ０．０４０８ ０．０６９２ ０．０９８５
０．０１２４、０．０４０８和 ０．００６２、０．０１１０，相较于 ＭＯＰＳＯ
ＤＴＬＺ４ ０．００６２ ０．０４３５ ０．０３７６
算法分别降低了 ７９．３％、４１．０％和 ８５．７％、９２．８％，
ＤＴＬＺ７ ０．０１１０ ０．１５３４ ０．０２４５
相较于 ＮＳＧＡ － Ⅲ算法分别降低了 ８８．４％、５８．６％和
８３．５％、５５．１％，ＩＳＣＳＯ － ＦＬ方法的计算结果在 ４种测试函数中均最接近真实最优解。因此，本文提出
的 ＩＳＣＳＯ － ＦＬ多目标优化方法在解的质量方面具有优越性。
４．２ 解的鲁棒性 为了评估 ＩＳＣＳＯ － ＦＬ方法的鲁棒性，将 ＩＳＣＳＯ － ＦＬ方法、ＭＯＰＳＯ算法和 ＮＳＧＡ － Ⅲ
算法分别在每种测试函数上运行 ２０次，运行结果如图 ４所示，图中 ｆ、ｆ和 ｆ为测试函数的优化目标
３
１
２
值。图 ４展示了不同方法在 ４种测试函数上 ２０次运行结果的中位数、上?下四分位、最大值和最小值
等统计数据，ＩＳＣＳＯ － ＦＬ方法 ２０次运行结果最大值和最小值之间的数值波动明显小于 ＭＯＰＳＯ算法和
ＮＳＧＡ － Ⅲ算法，因此 ＩＳＣＳＯ － ＦＬ方法具有更好的鲁棒性。

图 ４ 不同多目标优化方法在测试函数上运行 ２０次的结果分布情况

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