Page 78 - 2023年第54卷第12期

３
ｂ·ｈ
Ｉ＝ （４）
ｙ
１２
如假定载荷施加在薄臂梁中间（即 Ｌ?２处），其垂直振动 抗 弯刚 度 Ｋ及 水 平 振动 抗 弯 刚度 Ｋ分
ｚ ｙ
别为：
１９２ Ｉ·Ｅ
ｚ
Ｋ＝ （５）
ｚ
Ｌ ３
１９２Ｉ·Ｅ
ｙ
Ｋ ＝ （６）
ｙ
Ｌ ３
１１
式中 Ｅ为弹性模量，Ｅ ＝ １．８ × １０ Ｐａ。
如果定义式（ ２）中 Ｋ?Ｍ为相对刚度（单位质量的刚度系数），而薄壁梁质量 Ｍ＝ ρ ·ｂ·ｈ·Ｌ（ ρ 为材
料密度），则垂直方向和水平方向两个相对刚度分别为：
Ｋ １６Ｅ·ｈ ２
ｚ
＝ （７）
Ｍ ρ ·Ｌ ４
２
Ｋ １６Ｅ·ｂ
ｙ
＝ （８）
Ｍ ρ ·Ｌ ４
这说明，振动方向的尺寸大小（或称 “厚薄”，在垂直振动方向是 ｈ，在水平振动方向是 ｂ）最能反
映相对刚度的大小。由于翼型长度 ｂ远大于厚度 ｈ，垂直振动相对刚度 Ｋ?Ｍ远小于水平振动相对刚度
ｚ
Ｋ?Ｍ。对应的，叶片垂直振动固有频率 ｆ也应远小于水平振动固有频率 ｆ。
ｙ ０ｚ ０ｙ
卡门涡强振造成的转轮叶片破坏多发生于叶片出水边中部，同样受力条件下变形最大（由刚度定
义可知 Ｋ应最低），被认为是 “刚度相对最低” 的部位 ［５］ ，属公认的最薄弱环节。叶片垂直振动刚度
Ｋ应远小于转轮上冠及下环刚度，对应的固有频率 ｆ应为整个转轮的最低值及最低阶。
ｚ ０ｚ
（ ２）模型转轮叶片固有频率实测。为验证上述推论，课题组采用敲击法测量了某低水头混流式水轮
＃
＃
机模型转轮的固有频率，测试时分别对 １和 ８叶片进行了敲击试验，在叶片出水边各选择 ２个敲击位置，
每个位置敲击 ２次。共测量到 １０阶固有频率，其 １阶固有频率平均值为 ５８３．５Ｈｚ（最大值 ６１５．５Ｈｚ，最小
值 ４９０．７Ｈｚ），第 １０阶固有频率平均值为 ２３８９．８Ｈｚ（最大值 ２４９０Ｈｚ，最小值 ２３４８Ｈｚ）。
该模型转轮叶片进 水 边 直 径 Ｄ ＝ ３６０．９ｍｍ ，出 水 边 直 径 Ｄ ＝ ３７０．９ｍｍ ，转 轮 进 水 边 高 度 为
１ｍ ２ｍ
１１２．８ｍｍ，模型转轮材料为不锈钢。如将该转轮叶片简化为图 ２所示两侧固定薄壁梁，取不锈钢密度
３
ρ ＝ ７８２０ｋｇ?ｍ ，假定叶片进水边宽度为 １１５ｍｍ（因弯曲略大于 １１２．８ｍｍ），叶片出水边宽度为 １５５ｍｍ，
则平均宽度 Ｌ ＝ １３５ｍｍ 。
对简化后的叶片进行垂直振动固有频率分析，应用式（２）和式（７）。也可采用敲击试验获得一阶固
有频率（５８３．５Ｈｚ）反算叶片平均厚度 ｈ（ｈ ＝ ３．４８ｍｍ），与实际情况比较符合。但如果用第 １０阶固有频
率来反算，求出的叶片平均厚度应该是 １４．３ｍｍ，远大于模型转轮的叶片厚度，这从反面说明了敲击
获得的高阶固有频率不属于叶片，而敲击测试获得的低阶固有频率则更有可能属于叶片。
如假定转轮的叶片厚度 ｈ、叶片长度 Ｌ及转轮进水边直径 Ｄ比例变化，并假定 ｈ ＝ ａ·Ｄ，Ｌ ＝ ａ·Ｄ，
１ ｈ １ Ｌ １
由式（２）及式（７）可得：
２ ａ ｈ Ｅ
ｆ ＝ （９）
Ｌ 槡
０
２
π ·ａ·Ｄ １ ρ
这说明，在假定叶片厚度比例系数 ａ、叶片跨度比例系数 ａ变化不大的前提下，转轮叶片的固有
ｈ Ｌ
频率总体和转轮直径成反比。例如，若将此模型转轮直径 Ｄ 等比例放大到真机转轮直径 Ｄ ＝ ５．８ｍ ，
１ｍ １Ｐ
则可根据式（ ９）计算，真机叶片固有频率 ｆ ＝ ３６．３Ｈｚ，属于低阶。
０
在敲击法固有频率测试中，虽然敲击的是转轮叶片，却可能引起转轮其它部位的振动响应并反馈
到叶片。也就是说，实测的响应频率也可能包含转轮上冠、下环等部件的固有频率。实际上，水轮机
转轮的固有频率范围比较宽，由低阶到高阶变化比较大。由于转轮上冠及下环都比叶片厚得多，其刚

— １ ４ ６ —
６