Page 65 - 2022年第53卷第11期

对式（４）积分并取二阶近似整理得
Ｑ ＋ Ｑ １，ｍ ０ － Ｑ － Ｑ ２，ｎ ０ － Ｑ － Ｑ ３，０ ０ － Ｑ － Ｑ ｗ ０
２，ｎ
ｗ
１，ｍ
３，０
Ｆ ＝ ｙ － ｙ － Δ ｔ ＝ ０ （９）
４ ｓ ｓ ０
２Ａ
０
式中：Δ ｔ为时间步长，ｓ；下角标 ０表示物理量前一时间步的数值。
采用牛顿－ 辛普森方法，式（９）可转化为
Ｆ ＋ Ｆ Δ ｙ ＋ Ｆ ４，Ｑ １，ｍ Δ Ｑ ＋ Ｆ ４，Ｑ ２，ｎ Δ Ｑ ＋ Ｆ ４，Ｑ ３，０ Δ Ｑ ＝ ０ （１０）
４０
３，０
２，ｎ
１，ｍ
ｓ
４，ｙ ｓ
Δ ｔ
０．５
Ｑ ＋ Ｑ － Ｑ － Ｑ － Ｑ － Ｑ － Ｑ － Ｑ ｗ ０  Ｆ １ ＋ １．５ μ Ｂ ｗ槡 ２ｇ（ｙ － Ｈ） ｙ＞Ｈ ｗ
１，ｍ
２，ｎ
ｗ
３，０
ｓ
ｗ
ｓ
４
１，ｍ ０
３，０ ０
２，ｎ ０
式中：Ｆ ＝ ｙ － ｙ－ Δ ｔ；Ｆ ＝ ｓ{ ２Ａ ；
＝
０
４０ ｓ ｓ ０ ４，ｙ ｓ
２Ａ ０  ｙ
１ ｙ ≤Ｈ
ｓ ｗ
 Ｆ ４ Δ ｔ  Ｆ ４ Δ ｔ  Ｆ ４ Δ ｔ
Ｆ ＝ ＝－ ；Ｆ ＝ ＝ ；Ｆ ＝ ＝ 。
 Ｑ １，ｍ ２Ａ ０  Ｑ ２，ｎ ２Ａ ０  Ｑ ３，０ ２Ａ ０
４，Ｑ １，ｍ ４，Ｑ ２，ｎ ４，Ｑ ３，０
渠道 １的进口通常是流量边界，通过 Ｐｒｅｉｓｓｍａｎｎ四点隐式差分格式对渠道 １进行离散，并采用消
元法进行变换可得
Ｘ ＝ ＢＸ ＋ Ｐ （１１）
Δ Ｑ １，０
０ Ｕ １，０ Ｗ １，０ Ｐ １，０
Δ ｙ
１，０
０ Ｕ Ｗ Ｐ
１，１ １，１ １，１
Δ Ｑ １，１
０ Ｕ １，２ Ｗ １，２ Ｐ １，２
Δ ｙ
式中：Ｂ ＝ ０ Ｕ １，３ Ｗ １，３ ；Ｘ＝ １，１ ；Ｐ ＝ Ｐ １，３ ；Ｕ 、Ｗ 、Ｐ 为
ｉ，ｊ
ｉ，ｊ
ｉ，ｊ
Δ Ｑ １，２
０ Ｕ Ｗ Ｐ
１，４ １，４ １，４

    
Δ Ｑ １，ｍ
０ Ｕ Ｐ
１，２ｍ １，２ｍ
Δ ｙ
１，ｍ
双扫法系数。对于渠道 １末节点，也就是 ２ｍ ＋ １行，流量增量与水深增量的关系为
Δ Ｑ １，ｍ ＝ Ｕ １，２ｍ Δ ｙ ＋ Ｐ １，２ｍ （１２）
１，ｍ
类似地，渠道 ２的出口为水位边界或水位－ 流量关系时，由出口向进口方向消元可得
Δ ｙ ＝ Ｕ ２，２ｎ Δ Ｑ ＋ Ｐ ２，２ｎ （１３）
２，ｎ
２，ｎ
由式（６）得
ａ １ ｅ Ｆ １０
ｓ
Δ ｙ ＝－ Δ Ｑ － Δ ｙ － （１４）
１，ｍ １，ｍ ｓ
ｅ ｅ ｅ
１ １ １
式（ １４）代入式（１２）得
ｅＵ Ｆ Ｕ １，２ｍ － ｅＰ
１０
１ １，２ｍ
ｓ １，２ｍ
Δ Ｑ １，ｍ ＝－ Δ ｙ － （１５）
ｓ
ｅ＋ ａＵ ｅ＋ ａＵ
１ １ １，２ｍ １ １ １，２ｍ
由式（ ７）得
ａ ｅ Ｆ
ｓ
２
Δ ｙ ＝－ Δ Ｑ － Δ ｙ － ２０ （１６）
ｓ
２，ｎ
２，ｎ
ｅ ｅ ｅ
２ ２ ２
式（１６）代入式（１３）得
ｅ Ｆ ＋ ｅＰ
２０
ｓ
２ ２，２ｎ
Δ Ｑ ＝－ Δ ｙ － （１７）
ｓ
２，ｎ
ｅＵ ＋ ａ ｅＵ ＋ ａ
２ ２，２ｎ ２ ２ ２，２ｎ ２
式（１５）和（１７）代入式（１０）得
Ｆ Ｋ
４，Ｑ ３，０ ２
Δ ｙ＝－ Δ Ｑ ＋ （１８）
ｓ
Ｋ ３，０ Ｋ
１ １
ｅＵ Ｆ ４，Ｑ １，ｍ ｅＦ Ｆ Ｕ － ｅＰ Ｆ ＋ ｅＰ
ｓ １，２ｍ
ｓ ４，Ｑ ２，ｎ
式中：Ｋ ＝ Ｆ － － ；Ｋ ＝ １０ １，２ｍ １ １，２ｍ Ｆ ＋ ２０ ２ ２，２ｎ Ｆ － Ｆ 。
１ ４，ｙ ｓ ２ ４，Ｑ １，ｍ ４，Ｑ ２，ｎ ４０
ｅ＋ ａＵ ｅＵ ＋ ａ ｅ＋ ａＵ ｅＵ ＋ ａ
１ １ １，２ｍ ２ ２，２ｎ ２ １ １ １，２ｍ ２ ２，２ｎ ２
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