Page 112 - 2023年第54卷第4期

ｍ
ｍ
由式（１）和 式 （２）可 知，在 Ｃ （ｒ）′和 Ｃ （ｒ）′的 计 算 中 均 采 用 了 Ｈｅａｖｉｓｉｄｅ阶 跃 函 数， 由 于
ＸＸ ＸＹ
Ｈｅａｖｉｓｉｄｅ阶跃函数在 ｘ ＝ ０ 处为刚性边界，当相点处于边界附近时，ｒ值轻微的变化会导致 Ｑ′和 Ｒ′发生明
ｍ
ｍ
显变化，甚至造成动力系统间的相似性信息丢失。为了解决上述问题，本文在计算 Ｃ （ｒ）′与 Ｃ （ｒ）′
Ｘ Ｘ Ｘ Ｙ
ｍ
时采用 Ｓｉｇｍｏｉｄ函数替代 Ｈｅａｖｉｓｉｄｅ阶跃函数，能够将 ｘ ＝ ０处的刚性边界转变为模糊区间边界，使 Ｃ （ｒ）′
ＸＸ
ｍ
ｍ
ｍ
和 Ｃ （ｒ）′的计算值更加稳定。则改进后自关联和 Ｃ （ｒ）、交互关联和 Ｃ （ｒ）的表达式定义为：
ＸＹ ＸＸ ＸＹ
２ Ｍ Ｍ
ｍ
Ｃ （ｒ） ＝ ∑∑ Ｓ（ｒ － Ｘ－ Ｘ ） （５）
ｉ
ｊ
Ｘ Ｘ
Ｍ（Ｍ－ １ ） ｉ ＝１ｊ ＝ ｉ ＋ １
１ Ｍ Ｍ
ｍ
Ｃ （ｒ） ＝ ∑∑ Ｓ（ｒ － Ｘ－ Ｘ ） （６）
Ｘ Ｙ ｉ ｊ
Ｍ（Ｍ－ １ ） ｉ ＝１ ｊ ＝１
１
式中 Ｓ（ｘ） ＝ 。将 Ｈｅａｖｉｓｉｄｅ阶跃函数替换为 Ｓｉｇｍｏｉｄ函数后，可以通过参数 ｋ的取值调整模糊区
１ ＋ ｅ － ｋｘ
间的宽度，本文取 ｋ＝ １０? ｒ。则改进后的动力学自相关因子指数（简称 Ｑ指数）和互相关因子指数（简称
Ｒ指数）的表达式分别为：
ｍ
Ｃ （ｒ）
ＸＸ
Ｑ ＝ ｌｉｍ ｌｎ （７）
ｍ
ｒ → ０ Ｃ （ｒ）
Ｙ Ｙ
ｍ
Ｃ （ｒ）
ＸＹ
Ｒ ＝ ｌｉｍ ｌｎ （８）
ｍ
ｍ
ｒ → ０ Ｃ （ｒ） Ｃ （ｒ）
槡 Ｘ Ｘ 槡 Ｙ Ｙ
根据以上定义，Ｑ指数表示两组序列间的关联维数差异，即测点间内在驱动因素的复杂性差异；
Ｒ指数表示将一维时间序列映射到高维相空间后，任意一个相点与邻域内所有相点的平均模糊异同
性，能够准确地衡量两组序列在相点分布结构上的远近程度。结合泵站变形监测特点，本文首先利用
Ｑ指数从内在驱动因素的角度识别相邻测点的变形规律异常，再利用 Ｒ指数鉴别相邻测点的相对位移
态势，进而实现泵站变形性态的安全诊断。
２．３ 泵站变形转异显著性水平 为了对泵站变形性态进行诊断，需要确定 Ｑ指数和 Ｒ指数的分布密
度函数以及转异显著性水平。最大熵原理 ［１８］ 求得的概率分布是在所有可能的概率分布中找出使信息熵
最大的分布，所获得的解偏差最小且最客观。因此，本文采用最大熵原理求解 Ｑ指数和 Ｒ指数的分布
密度函数。最大熵原理求解概率分布是在已知样本数据信息的约束条件下，求解出使熵 Ｈ（ｘ）最大的
概率分布。其目标函数为：
∫
ｍａｘＨ（ｘ） ＝－ ｆ（ｘ）ｌｎｆ（ｘ）ｄｘ （９）
式中 ｆ（ｘ）为变量 ｘ的分布函数。
约束条件为：
∫ ∫ （１０）
ｉ
ｆ（ｘ）ｄｘ ＝ １ ； ｘｆ（ｘ）ｄｘ ＝ μ ｉ
式中 ｕ为第 ｉ阶原点矩（ｉ ＝ １，２，…，Ｎ），Ｎ为总阶数。
ｉ
采用拉格朗日乘子法求解出最大熵概率分布函数的解析形式为：
Ｎ
(
ｉ
ｆ（ｘ） ＝ｅｘｐ λ ０ ∑ λ ｉ ) （１１）
ｘ
＋
ｉ ＝１
为拉格朗日乘子（ｉ ＝ ０，１，…，Ｎ）。
式中 λ ｉ
在给定显著性水平 α下，可以得出预警指标 Ｑ 和 Ｒ，满足以下条件：
α
α
Ｑ ａ Ｒ ａ
ａ ∫
ａ ∫
Ｐ［Ｑ］＝ ｆ（Ｑ）ｄＱ ＝ １ － α ；Ｐ［Ｒ］＝ ｆ（Ｒ）ｄＲ ＝ １ － α （１２）
０ ０
式中 Ｑ指数和 Ｒ指数均大于 ０，因此其积分下限为 ０。
２．４ 泵站变形性态诊断模式 如图 １所示，泵站变形测点分布在各底板的边角处，目的是测量相邻测
点之间的协同工作状态和不均匀变形情况。在理想情况下，相邻测点应处于协同变形状态，但在实际
８
— ４ ８ —