Page 64 - 水利学报2021年第52卷第6期

当模型的参数变动时，AIC 及 BIC 的值越小则表示模型的拟合效果越好。由于高斯混合模型中
K ≥ 2 ，因此选择以 K = 2 作为起点，通过逐一列举的方式计算模型拟合预报误差分布的 AIC 及 BIC
的值，并选取对应 AIC 及 BIC 值最小的 K 值作为当前预见时刻误差分布最优的高斯分布混合个数。
3.2 基于 K-means++的参数初始值确定 K-means++算法是一种确定聚类迭代初始起点的算法 ［16］ ，
一般用于初始化 K-means++聚类算法的聚类中心。高斯混合模型本质上作为一种聚类模型，其原理
是通过计算每个数据所属的高斯类从而实现聚类的效果，因此同样可以利用 K-means++算法进行预
分类，并根据预分类的结果计算高斯混合模型的初始参数值，其具体步骤如下：
（1）从单一预见时刻误差数据集中随机选定与最优高斯分布混合数 K 相同数目的初始聚类中心；

（2）计算每个误差数据 e 与之最近一个聚类中心的马氏距离 D e ) ；
x ( ) i t ( ) j ( x ( ) i t ( ) j
D e )
( x ( ) i t ( ) j
（3）计算每个误差数据被选为下一个聚类中心的概率 2 ，按照轮盘法选出下一个
D e )
å i ∈ n ( x ( ) i t ( ) j
聚类中心；
（4）重复（2）（3），直至每一个聚类中心不再变化为止；
′
σ
2
（5）依据得到的聚类中心将误差数据聚类，并计算每个类的均值 u′ 与方差 ( ) 作为迭代的初始
k
k
值，其中权值的初始值 α ′ = K 1 。
k
2
当初始参数值确定后，利用 EM 算法迭代计算则可得到最终的 α 、 u 、 σ ，带入式（3）即可得
k
k
k
到单一预见时刻的误差分布表达式。
3.3 多个预见时刻径流预报误差联合分布建立及应用 meta-elliptic Copula 函数族中的高维 meta-stu⁃
［17］ ［18］
dent t Copula 、高维 meta-Gaussian Copula 是水文中常用的两类分布，由于在预报模型在预报过程
中受到的干扰因素难以量化，可能会在某一时间点产生与均值偏离较大的预报误差，而高维 me⁃
ta-Gaussian Copula 不具有尾部相关性，因此本文在推求各个预见时刻误差分布的前提下，选用高维
meta-student t Copula 建立多个预见时刻径流预报误差间的联合分布，可表示为：
C (φ ，φ ，，φ ) = t [ t ( )，t ( )，，t ( ) ] （10）
φ
φ
φ
-1
-1
-1
1 2 m Σν ν 1 ν 2 ν m
将其展开可得：
t ( ) t ( ) Γ æ ν + m ö ν + m
φ
φ
-1
-1
m
ν
ν
1
)
C (φ；Σ；ν =   è ν ø æ 1 + 1 X Σ X ö 2 dx （11）
T
-1
m
)
-∞ -∞ Γ æ ν ö (πν | Σ | è ν ø
è 2 ø
式中： C (φ ，φ ，，φ ) 为 m 维随机变量联合分布， φ ，φ ，，φ 分别表示 m 个预见时刻的入库
1 2 m 1 2 m
径流预报误差；t 为ν个自由度的 t 分布函数，其协方差矩阵为 Σ ； t (×) 为自由度为ν的 t 分布的逆函
-1
Σν ν
(
数； Γ(·) 为伽马分布；X 为不同预见时刻的预报误差变量矩阵， X = φ x ( ) i t ( ) 1 ，φ x ( ) i t ( ) 2 ，，φ x ( ) i t (m ) ) ；
T
φ为被积函数变量矩阵， φ = [φ ，φ ，，φ ] 。
1 2 m
当对整个入库径流预报过程进行不确定性分析时，需要依据入库径流过程预报误差联合分布对
误差序列进行随机抽样，主要分为如下两步。
（1）依据联合分布 C (φ ，φ ，，φ ) 生成随机序列矩阵 ω = [ω ，ω ，，ω ] ， ω 表示对应预
1 2 m 1 2 m j
见时刻误差分布的累积分布概率。
φ
（2）推求对应预见时刻误差分布的逆累积分布函数 F ( ) ，将随机序列矩阵 ω 带入该函数，可
-1
j
i
)
ω
ω
ω
-1
-1
得到模拟的入库径流过程误差序列，表示为 e ′ = ( F ( )，F ( )，，F ( ) 。
-1
1 1 2 2 m m
基于 IGMM-Copula 的入库径流过程预报误差随机模拟模型的研究流程如图 1 所示。
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