Page 40 - 2021年第52卷第7期

平均模型 ARMA（Auto-Regressive Moving Average）是自回归模型 AR（Auto-Regressive）和滑动平均模型
MA（Moving Average）的混合，且较 AR 和 MA 能更好地反映水文变量在时序变化上的统计特性，即具
［7］
有更大的弹性，在水文学中应用更为广泛 。国内外许多学者用其来描述水文现象在时间上的相依
性。翟颢瑾等 ［16］ 使用 ARMA 模型模拟水质污染的相依随机过程，实现对长江未来水质情况的分析预
测；栗现文和杨佳等 ［17-18］ 采用 ARMA 模型分析地下水位埋深时间序列中去除确定性组分之后的相依随
机和纯随机组分，从而达到对未来短期地下水位动态进行准确预测的目的；Dwivedi 等 ［19］ 运用 ARMA
等时间序列模型对降雨和径流的随机相依水文过程建模，从而实现对降雨的预测和径流量的估计；
Atan 等 ［20］ 利用 ARMA 模型的相依性特征模拟洪水时间序列并对流域洪灾风险进行了评估与分析等。
然而，目前的研究主要是运用 ARMA 模型表征水文序列的相依特性，对于水文序列中相依变异强弱
的量化研究则鲜有提及。赵羽西等 ［21］ 的研究虽涉及到对序列相依变异程度的分级量化，却也仅适用

于 AR 模型，至于其它模型尚需进一步补充和完善。此外，在运用 AIC、BIC 等定阶准则对含有 AR⁃
MA 相依成分的水文序列进行定阶时，只能确定模型的自回归阶数 p 与滑动平均阶数 q 的和（即 p+q 的
值），而在 AIC 和 BIC 函数最小值不唯一或阶数 p 和 q 有多种组合方式时，并不能对其做出明确判断。
为此，本文以适用性更为广泛的 ARMA 模型为例，在已有研究 ［21］ 的基础上，以原序列与其相依
成分间的相关系数为衡量标准，提出了描述水文相依变异强弱的一种方法。通过相关系数表达式的
推求说明选用该指标进行变异分级的基本原理，并设计统计试验说明基本原理的合理性；以 ARMA
（1，1）和 ARMA（1，2）模型为例，指出相关系数指标与自相关系数的联系；最后通过模拟时间序列和
实测水文序列对所提方法进行验证，并结合水文序列的相依变异程度和相依成分与原序列的拟合效
率系数为具有 ARMA（p，q）相依成分的水文序列提供一种定阶的新思路。

2 分级原理与方法

2.1 相依变异分级原理 一般情况下，在扣除确定性成分的影响之后，剩余水文序列 x 中的相依成
t
分可用自回归滑动平均模型 ARMA（p，q）表示为：
x = u + φ ( x t - 1 - u ) + φ ( x t - 2 - u ) + ⋯ + φ ( x t - p - u ) + ε - θ ε t - 1 - θ ε t - 2 - ⋯ - θ ε t - q （1）
t
q
p
t
2
1
2
1
式 中 ： u 为 序 列 x 的 均 值 ； p 为 模 型 的 自 回 归 阶 数 ； q 为 模 型 的 滑 动 平 均 阶 数 ； 参 数
t
φ ，φ ，⋯，φ 是待定系数中的自回归系数；参数 θ ，θ ，⋯，θ 是待定系数中的滑动平均系数；
1 2 p 1 2 q
ε ，ε t - 1 ，ε t - 2 ，⋯，ε t - q 为独立随机变量，其标准差为 σ 、均值为 0，且与 x t - 1 ，x t - 2 ，⋯，x t - q 独
ε
t
立无关。
式（1）中 的 φ ( x - u ) + φ ( x - u ) + ⋯ + φ ( x - u ) - θ ε - θ ε - ⋯ - θ ε 为 相 依 成 分 ，
1 t - 1 2 t - 2 p t - p 1 t - 1 2 t - 2 q t - q
用 η 表示，故 x 能够表示为线性叠加的形式：
t
t
x = η + u t （2）
t
t
式中： u = u + ε ，其均值与标准差分别为 u 、 σ ，为水文序列中的纯随机成分，在我国水文统计分
t
t
ε
［7］
析与计算中通常认为其服从 P-Ⅲ型分布 。
u
x
又因为 η 与 u 相互独立，而 x 的期望 E ( ) = u 、 u 的期望 E ( ) = u ，故可得相依成分序列的
t
t
t
t
t
t
η
期望值 E ( ) = 0 。
t
x 与 η 间的相关系数表达式为：
t
t
n
)(
å( x - x ˉ η - η ˉ )
t
t
r = t = 1 （3）
n 2 n 2
)
å( x - x ˉ å(η - η ˉ )
t
t
t = 1 t = 1
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