Page 43 - 2021年第52卷第7期

3 分级方法验证

3.1 分级原理合理性验证 为验证水文相依变异分级方法对 ARMA（p，q）的适用性，而实际中基于时
间序列模型的水文序列预测与延展工作通常以低阶为主，故以较低阶数（p+q）的 ARMA（1，1）和 ARMA
（1，2）模型为例，分别设计统计试验，以验证分级原理中式（19）推导过程的合理性。
3.1.1 ARMA（1，1）模型 ARMA（1，1）模型可以表示为 x = φ ( x - u ) - θ ε + u ，据式（19）可得：
t 1 t - 1 1 t - 1 t
1 - ρ φ
r = 1 - 1 1 （22）
2
1 + θ 2
1
用Yule - Walker 方程估计自回归系数 φ (i = 1，2，⋯，p ) ［27］ ：
i
-1
æ φ ö æ 1 ρ 1 ⋯ ρ p - 1 ö æ ρ ö
ç ç φ 1 ÷ ÷ ç ç ç ρ 1 ⋯ ρ ÷ ç 1 ÷ ÷
÷ ÷ ç ρ
ç
÷
ç ⋮ 2 ÷ = ç ç ⋮ 1 ⋮ ⋯ p - 2 ÷ ÷ ç ç ç ⋮ 2 ÷ ÷ ÷ （23）
⋮
ç
÷
ç φ ÷ ç ÷ ç ρ ÷
è p ø è ρ p - 1 ρ p - 2 ⋯ 1 ø è p ø
由Yule - Walker 方程可得 ρ = φ ，将其代入式（22）得到：
1 1
1 - φ 2
r = 1 - 1 （24）
2
1 + θ 2
1
为满足平稳性和可逆性，各系数需符合：
ì-1 < φ < 1
ï 1
í -1 < θ < 1 （25）
ï φ > θ 1
î 1 1
统计试验详细步骤如下：
（1）利用 P-Ⅲ型分布生成长为 n = 1000、 均值 u = 100 、变差系数 C = 0.2 、偏态系数 C = 0.4 的
vu
su
序列 u ，然后随机生成 20 组自回归系数 φ 值和滑动平均系数 θ 值，代入式（1）得到 20 个 ARMA（1，1）
t
1
1
序列 x（i=1，2，3，…，20）；
i
（2）相依成分 η 由所得 ARMA（1，1）序列 x 扣除 u 求取；
t
i
i
（3）每组系数值内试验 1000 次， η 为第 i 组第 j 次统计试验得到的相依成分序列（i=1，2，…，
ij
20；j=1，2，…，1000）；
（4）依据式（3）计算得到每组原始序列与其相依成分序列的相关系数 r （i=1，2，···，20；j=1，
ij
å
2，…，1000），再求出每组的平均相关系数 r = 1 1000 r （i=1，2，3，···，20）；
i
ij
1000
j = 1
| r - r |
设定相对误差 δ = i a × 100% ，比较式（24）（为式（19）推导所得）计算出的相关系数 r （理论
r a a
值）与统计试验得出平均相关系数 r （试验值），结果见表 2。结果显示：20 组不同 φ 与 θ 组合下的相
i
1
1
对误差 δ 均在 5%以内，最大值也仅为 4.84%（ φ = 0.7，θ = -0.6 ）。另外当 φ 值为 0（即为 MA（1）模
1 1 1
型）时，相对误差值较小，这是由于相对误差随参数个数的增加而增大。说明在 ARMA（1，1）模型
中，在相同 φ 值与 θ 值下，试验值 r 与理论值 r 相近，即分级原理对 ARMA（1，1）模型是合理的。
1 1 i a
3.1.2 ARMA（1， 2）模 型 ARMA（1， 2）模 型 可 以 表 示 为 x = φ (x t - 1 - u ) - θ ε t - 1 - θ ε t - 2 + u ， 将
t
t
1
1
2
p = 1，q = 2 带入式（19）得：
1 - ρ φ
2 1 1
r = 1 - （26）
1 + θ + θ 2
2
1 2
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