Page 42 - 2021年第52卷第7期

为此，式（13）可以化简为：
)
( 1 - ρ φ - ρ φ - ⋯ - ρ φ σ = ( 1 + θ + θ + ⋯ + θ q 2 ) σ ε 2 （17）
2
2
2
x
p
p
1
1
2
2
1
2
将上式进行整理得：
σ ε 2 = 1 - ρ φ - ρ φ - ⋯ - ρ φ p （18）
p
2
1
1
2
σ 2 1 + θ + θ + ⋯ + θ 2
2
2
x 1 2 q
因为 σ = σ u 2 ，结合式（8）和（18）可得：
2
ε
1 - ρ φ - ρ φ - ⋯ - ρ φ
r = 1 - 1 1 2 2 p p （19）
2
1 + θ + θ + ⋯ + θ 2
2
2
1 2 q
对式（19）进行初步验证：
当 p=0 时，即为滑动平均模型 MA（q），式（19）可化简为：
r = 1 - 1 （20）
2
( 1 + θ + θ + ⋯ + θ 2 )
2
2
1 2 q
当 q=0 时，即为自回归模型 AR（p），式（19）可化简为：
r = ρ φ + ρ φ + ⋯ + ρ φ （21）
2
1 1 2 2 p p
式（20）和（21）与现有结论相符合 ［22］ ，故初步认为式（19）合理可靠。
ARMA 模型中的滑动平均系数 θ ，θ ，⋯，θ 和自回归系数 φ ，φ ，⋯，φ 的参数解与样本自
1 2 q 1 2 p
［7］
相关系数存在函数关系，而样本自相关系数能够描述水文序列的相依变异程度 ，故相关系数 r 能够
表示样本序列的相依关系并可描述其相依程度。因此，可以用相关系数对水文序列的相依程度进行
分级。
2.2 相依变异分级方法 基于以上推导证明的分级原理，借鉴水文变异分级方法 ［21，23-25］ ，提出水文时
间序列的相依变异分级方法。其中，选取 r 、r 、0.6 和 0.8 作为相依变异分级界限，相应地把相关
α
β
系数 r 分为 5 段区间，对应描述不同强弱的相依变异程度，具体分级标准见表 1。 r 和r 分别是在已
β
α
知 模 型 阶 数 和 序 列 长 度 的 情 况 下 ， 显 著 性 水 平 为 α 和 β （α > β ）下 的 分 级 阈 值 ， 通 常 取
α = 0.05，β = 0.01 。
以 ARMA（p，q）为例，利用所提方法对水文序列的相依变异程度量化分级的详细步骤如下：
（1）去除水文序列中的确定性成分，得到含有独立随机或相依成分的剩余序列 x 。
t
（2）判断 x 中是否存在相依成分。画出自相关与偏相关系数图，如果自相关系数均在容许限以
t
内，认为剩余序列为纯随机成分；否则，认为剩余序列含有相依成分，且当自相关与偏相关系数均
拖尾时，认为相依成分符合 ARMA（p，q）模型。
（3）确 定 模 型 的 阶 数 。 不 同 于 AR（p）与
表 1 相依变异程度分级
MA（q），据自相关系数图和偏相关系数图并
不 能 判 断 出 ARMA（p，q）模型的阶数，故选 相依性变异程度 相关系数
用两种定阶准则（AIC 和 BIC 准则）来判定其阶 无变异 0 ≤ ||r < r a
数 p、q。 弱变异 r α ≤ ||r < r β
（4）估计模型参数。用矩估计法 ［26］ 对 AR⁃ 中变异 r β ≤ ||r < 0.6
MA（p， q）的 参 数 φ (i = 1，2，...，p ) 和 强变异 0.6 ≤ ||r ≤ 0.8
i
)
θ (i = 1，2，...，q 进行估计，由此得到相依 巨变异 0.8 ≤ ||r ≤ 1.0
i
成分序列 η 。
t
（5）计算相关系数 r 。利用式（3）求得序列 x 与 η 间的 r 值。
t
t
（6）判定变异等级。根据得出的相关系数 r 值对照表 1 找到对应的等级区间，由此判定出水文序
列相依变异程度的强弱。
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