Page 55 - 2021年第52卷第7期

N
Y ( ) t = å ( X ( ) t ) （1）
f
i
i
1
另一个是可以考虑解释变量间存在相关性的乘积模式：
N
f
Y ( ) t = Õ ( X ( ) t ) （2）
i
i
1
其中：N 指作用于研究变量 Y 的所有影响因子的个数，这些影响因子包括人类认识到的和尚未认识
的；f（X（t））为影响因子 X 的源函数。假设在 N 个影响因子中，有 n 个因子是人类目前已认识到的，
i
i
i
它们的“源”函数分别为 f（X（t）），…，f（X（t））；未知影响因子及其“源”函数分别为 f （X （t）），…，
1 1 n n n+1 n+1
f（X（t））。则式（1）和式（2）改写为：
N
N
Y ( ) t = f ( X ( ) t ) +  + f ( X ( ) t ) + f ( X (t ) ) +  + f ( X ( ) t ) （3）
1 1 n n n + 1 n + 1 N N
Y ( ) t = f ( X ( ) t )…f ( X ( ) t ) f ( X (t ) ) …f ( X ( ) t ) （4）
1 1 n n n + 1 n + 1 N N
分别记 δ = f ( X (t ) ) +  + f ( X ( ) t ) 和 δ = f ( X (t ) ) f ( X ( ) t ) ，他们代表人类未知的影
n + 1 n + 1 N N * n + 1 n + 1 N N
响因素对 Y 的作用，通常可以认为是自然随机变量，具有概率分布，并具有对应的均值μ、μ ，和方
*
差σ 、 σ 。令K ( ) t = f ( X ( ) t ) +  + f ( X ( ) t )和 K ( ) t = f ( X ( ) t )…f ( X ( ) t ) 。在生产实践当中，由于
2
2
s
n
n
n
n
*
p
1
1
1
1
我们更关心影响因子取给定值时，Y 的变化情况，与回归分析的考虑相同，在计算 Y 之前，解释变量
X ( ) t ，，X ( ) t 的取值已经确定，可以作为可控变量处理 ［24］ 。于是K ( ) t 和K ( ) t 在 t 时刻为常数，故
1 n s p
K ( ) t 和 K ( ) t 是已知的时间函数。重新写上述式（3）、式（4）为：
s
p
Y ( ) t = K ( ) t + δ （5）
s
Y ( ) t = K ( ) t δ * （6）
p
对比两种表达式下 Y（t）的条件数学期望和条件方差如下。
叠加模型：
]
E (Y ( ) t ) = E [K ( ) t + δ = K ( ) t + μ （7）
s
s
Var [Y ( ) t ] = Var[ K ( ) t + δ 2 ] = σ 2 （8）
s
乘积模型：
]
E (Y ( ) t ) = E [ K ( ) t δ = K ( ) t μ * （9）
*
p
p
2
Var [Y ( ) t ] = Var [ K ( ) t δ * ] = ( K ( ) t ) σ * 2 （10）
p
p
不难看到，两种模型下 Y ( ) t 的条件均值均是时变函数，一旦 X 发生趋势性变化， Y ( ) t 的条件
i
数学期望也就出现趋势性变化；与均值不同，在叠加模型下的方差为常数，而乘积模型下方差是时
变函数，且会随 X 的趋势性变化而产生更强的趋势性。
i
现在来考察水文现象变化的普遍特点。水文现象是在水文系统内各要素间普遍存在相互影响的
背景下发生的。各解释变量间基本不存在绝对的独立性，他们的相互作用使水文系统呈现出高度复
杂的自适应非线性状态。随着近年来的环境变化，大量的研究成果表明不仅水文变量的量级表现出
了非平稳变化，而且水文极端事件也急剧增多 ［25-26］ 。从统计的角度来看，这种现象表明了水文序列的
一、二阶矩均发生了变化 ［27-28］ ，特别是极端事件的极端特性越强，二阶矩的变化就越不能被忽视 ［29］ 。
因此，可以得到结论，乘积模式相较于叠加模式更适用于描述具有复杂相关性的水文系统。故这里
采用乘积模型（11）作为溯源重构法的基础模型。
n
f
Y = Õ ( X ( ) t )δ * （11）
i
i
i = 1
2.3 溯源重构函数与重构序列 考虑到 Y（t）的非一致性变化是因为解释变量的非一致性变化引起，
那么如果将所有带有非一致性变化的影响因子的作用从 Y（t）中剔除，见式（12），则剩余量将表现出
一致性。
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