Page 34 - 2023年第54卷第3期

（ｈ?ｋ ＋ ｙ?ｋ） ＋ Ｔ，Ｔ＜０ （４０）
Ｔ ＝ Ｔ－ φ ｓａ
ｓ ｓ ｓ ｉ ｕ ｓ
由于冰盖强度和弹性模量是冰温的函数 ［１４］ ，上式可供冬季冰盖强度和弹性模量计算参考。
当式（３７）计算的 Ｔ≥０℃成立时，雪面融化，令 Ｔ＝ Ｔ ，从式（２０）可得雪面净热通量
ｓ ｓ ｍ
＝ － ｈ（Ｔ － Ｔ） （４１）
φ ｓａ φ ｓａ０ ｓａ ｍ ａ
分别表示冰面温度和冰面净热
需要说明的是，当冰面上没有雪盖时，只需取 ｈ＝ ０，则 Ｔ和 φ ｓａ
ｓ ｓ
通量。
６ 雪面温度 Ｔ＜０℃时冰厚的数值模拟
ｓ

当雪面温度 Ｔ＜０，将式（２４）（３９）代入式（１６）得冰厚随时间变化的常微分方程
ｓ
Ｌ） （４２）
ｗ
ｉ
ａ
ｍ
ｗｉ
ｓａ
ｓａ
ｄｈ?ｄｔ ＝ ［（Ｔ － Ｔ－ φ ｓａ０ ?ｈ － Ｔ）?（ｈ?ｋ ＋ ｈ?ｋ ＋ １? ｈ ） － ｈ（Ｔ－ Ｔ ） ＋ φ ｓｔ ］?（ ρ ｉ ｉ
ｍ
ｓ
ｉ
ｕ
ｉ
ｓ
式中：右边第一项代表大气热传导产生的冰盖热力增厚速率；右边第二项代表水体热传导产生的冰盖
热力增厚或消融的速率，当水温 Ｔ＞０℃时，冰厚减小，反之，当水温 Ｔ≤０℃时，冰厚增加；第三
ｗ
ｗ
项代表太阳辐射透射产生的冰盖热力增厚速率。冰盖热力增厚的充分必要条件是式（４２）右边大于 ０。
显然，雪面温度 Ｔ＜０℃是冰盖发生热力增厚的必要条件，不是充分条件。当 Ｔ≥０℃时，雪盖和冰盖
ｓ ｓ
会发生热力消融现象，式（ ４２）关系不成立。
［３］
＝ ０ 和 Ｔ ＝ ０℃时，式（４２）简化为 Ａｓｈｔｏｎ 和 Ｓｈｅｎ等 ［４］ 提出的冰盖热力增厚方程
ｕ
当令 φ ｓａ０
Ｌ） （４３）
ｓ
ｓ
ｉ
ｍ
ａ
ｗ
ｄｈ?ｄｔ ＝ ［（Ｔ － Ｔ）?（ｈ?ｋ ＋ ｈ?ｋ ＋ １? ｈ ） － ｈ （Ｔ－ Ｔ ）］?（ ρ ｉ ｉ
ｉ
ｍ
ｗｉ
ｉ
ｓａ
［１］
＝ ０ 、Ｔ ＝ ０℃和 １?ｈ ＝ ０ 时，式（４２）简化为 Ｓｔｅｆａｎ 提出的冰盖热力增厚方程
ｓ ｕ ｓａ
当令 ｈ＝ ０ 、φ ｓａ０
Ｌ）］ （４４）
ａ
ｉ
ｍ
ｉ
ｄｈ?ｄｔ ＝ （Ｔ － Ｔ）?［（ｈ?ｋ）（ ρ ｉ ｉ
ｉ
综上所述，可得结论：现有冰盖热力增厚方程只是式（４２）的特例。
对式（４２）两边同乘以（ｈｋ?ｋ ＋ ｈ＋ ｋ?ｈ ），可得
ｓ ｉ ｓ ｉ ｉ ｓａ
?ｈ － Ｔ）ｄｔ －
Ｌ?ｋ）（ｈｋ?ｋ ＋ ｈ＋ ｋ?ｈ ）ｄｈ＝ （Ｔ － Ｔ－ φ ｓａ０
（ ρ ｉ ｉ ｉ ｓ ｉ ｓ ｉ ｉ ｓａ ｉ ｍ ａ ｓａ ｕ
（４５）
）ｄｔ
（ｈ?ｋ ＋ ｈ?ｋ ＋ １?ｈ ）（ｈ （Ｔ－ Ｔ ） － φ ｓｔ
ｓ ｓ ｉ ｉ ｓａ ｗｉ ｗ ｍ
在假设热交换系数 ｈ 和雪厚 ｈ在 Δ ｔ时段不变的条件下，式（４５）右边只是气温 Ｔ或者时间的函
ｓａ ｓ ａ
数，左边是冰厚的函数，积分可得下述近似递推计算公式
２
ｈ＝ （ｈｋ?ｋ ＋ ｈ ＋ ｋ?ｈ ）＋ α （Ｓ － Ｕ － Ｗ） － （ｈｋ?ｋ ＋ ｋ?ｈ ），Ｔ＜０℃ （４６）
ｉ 槡 ｓ ｉ ｓ ｉ０ ｉ ｓａ ｓ ｉ ｓ ｉ ｓａ ｓ
式中：下标 “０” 表示时刻 ｔ；Δ ｔ ＝ ｔ － ｔ为时间步长，ｓ；
０
０
{ α ＝ ２ ｋ Δ ｔ?（ ρ ｉ ｉ ｍ ａ ?ｈ ＋ Ｔ） （４７）
ｓａ
ｕ
Ｌ），Ｓ ＝ （Ｔ － Ｔ），Ｕ ＝ （ φ ｓａ０
ｉ
Ｗ＝ （ｈ?ｋ ＋ ｈ ?ｋ ＋ １?ｈ ）（ｈ（Ｔ － Ｔ ） － φ ｓｔ０ ），φ ｓｔ０ ＝ Ｉ ｅｘｐ（ － ｋｈ ）
ｓ ｓ ｉ０ ｉ ｓａ ｗｉ ｗ０ ｍ ｖｉｓ０ ｖｉ ｉ０
需要说明的是，在冰盖热力增厚期间冰下水温接近于 ０℃，受限于温度计测量精度的影响，目前
国内外普遍缺乏冰下水温和河床地温的实测资料，下面研究一个特例。
由于冰封期属于枯水期，流速变化缓慢，对于远离冰盖前缘的河渠段，根据式（ ２６）可得水体与冰
主要受太阳辐射透射和河床下垫层地温影响，这时，式（４７）中
盖的热交换 φ ｗｉ
Ｗ＝ （ｈ?ｋ ＋ ｈ ?ｋ ＋ １? ｈ ）ｈ Ｔ （４８）
ｉ
ｓ
ｓａ
ｓ
ｉ０
ｗｂｅ ｂｅ
黑龙江大庆油田实测 ［１５］ 冬天地下恒温层深度出现在 １１．５ｍ，温度 Ｔ 约为 ５℃。由于雪盖和冰盖
ｂｅ
具有很好的保温作用，因此水下河渠河床下垫层的温度 Ｔ 的变化范围在 ０～１０℃之间是成立的。
ｂｅ
７ 雪盖和冰盖的热力消融
＞０，则雪盖发生热力消融现象，形成雪、水和气泡混合物，俗称
一旦雪面温度 Ｔ＝ Ｔ ＝ ０℃或 φ ｓａ
ｓ ｍ
雪浆，甚至发生水覆冰现象，即在冰面覆盖一层含大量气泡的水膜。由于冰盖存在贯通性裂缝和冰面
凹凸不平，一部分融水经过裂缝渗漏进河道，其余在冰面形成星罗棋布的小水洼，甚至清沟或者敞露
４
— ２ ８ —