Page 34 - 2023年第54卷第4期

常微分方程式（３５）的解是
ｘ － ｘ＝ Ｕ（ｔ － ｔ） （３７）
０
ａ
０
(
把式（ ３７）代入式（３６）消去 ｔ － ｔ ) 得气温的沿程分布规律
０
{ Ｔ ＋ ｒ ｒ )}{ Ｔ ＋ ｒ ｒ )}
ａ０
ａ０
１
１
３
３
Ｔ＝ － ｒ ＋ ｒ Ｔ ＋ ｒ ( １ － Ｔ ＋ ｒ ( （３８）
ｅｘｐ－ （ｘ － ｘ）
ｅｘｐ－ （ｘ － ｘ）
ａ １ ２ ａ０ ２ Ｕ ａ ０ ａ０ ２ Ｕ ａ ０
当取隧洞进口为 ｘ，则 Ｔ 为隧洞进口大气温度。当 ｘ → ＋ ∞，Ｔ ＝－ ｒ。这表明：不论隧洞进口气
０ ａ０ ａ １
温 Ｔ 大于还是小于隧洞围岩温度和水温，气温 Ｔ随着离开洞口距离的增加都会以指数规律趋近于一
ａ
ａ０
个定温 Ｔ＝－ ｒ，其大小与围岩温度 Ｔ、水温 Ｔ及隧洞结构和热力学参数有关。
ａ １ Ｄ ｗ
５ 无压隧洞内水温的变化规律
对于如图 ２所示无压隧洞，考虑隧洞正常输水水位一般在直墙范围内，水体与隧洞的热交换可描
述为 ［１０ － １１］
＝ ｈ （Ｔ－ Ｔ） （３９）
φ ｗｂ ｗｂ ｗ Ｄ
ｈ ＝ １?（ｈ?ｋ＋ ｈ?ｋ） （４０）
ｗｂ
１
２
２
１
式中：ｈ为衬砌直墙或底板的厚度，ｍ；ｈ为围岩变温层的厚度，ｍ。在初步计算时，可取 ｈ ＝ （１～
１ ２ ２
２ ）Ｒ ［１３ － １４］ 。
根据式（ ２１），无压隧洞水面接受的气体对流净热通量可描述为
２
＝－ （ＦＴ＋ ＦＴ＋ Ｆ） （４１）
φ Ｔ ＝－ φ ｗａ １ ｗ ２ ｗ ３
－ ３
－ ４
２
式中：Ｆ ＝ ０．１５８ × １０ ｐ；Ｆ ＝ ｈ － ２ＦＴ；Ｆ ＝－ ｈ Ｔ＋ ＦＴ；ｈ ＝ ６ × １０ ｐ（６．０４ ＋ ２．９５Ｕ）。
１ ａ ２ ｗａ １ ａ ３ ｗａ ａ １ ａ ｗａ ａ
隧洞水体与周围环境的热交换包括水面与气体的对流热交换及水体与隧洞的热交换，即
χ
２
２
－ φ ｄｓ ＝－ Ｂ（ＦＴ＋ ＦＴ＋ Ｆ） ＋ χ ｈ （Ｔ － Ｔ） ＝ａＴ＋ ｂＴ＋ ｃ （４２ａ）
Ｂ φ Ｔ ∫ ｗｂ １ ｗ ２ ｗ ３ ｗ ｗｂ Ｄ ｗ ｗ ｗ
０
ａ ＝－ ＢＦ，ｂ ＝－ （ＢＦ＋ χ ｈ ），ｃ ＝－ ＢＦ＋ χ ｈ Ｔ，ｈ ＝ １?（ｈ?ｋ＋ ｈ?ｋ） （４２ｂ）
１ ２ ｗ ｗｂ ３ ｗ ｗｂ Ｄ ｗｂ １ １ ２ ２
２
把式（１５）等号右边－ χ 用式（４２ａ）右边 ａＴ＋ ｂＴ＋ ｃ代替，忽略热扩散项并采用特征线方法可得
ｗ
ｗ
φ ｗｂ
ｄＴ ｂＴ＋ ｃ
ｗ ｗ
＝ （４３）
ｄｔ ρ Ｃ Ａ
Ｐ
２
对实际输水工程， ｂ－ ４ａｃ＞０总是成立。当把隧洞分成为 ｍ段，在每一段参数 ａ、ｂ、ｃ、Ａ为常
槡
数，则对式（ ４３）沿特征线积分得
－ ｒ ＋ ｒ ｅｘｐ（ － ｒ Δ ｔ）（Ｔ ｗｐ，ｉ － １ ＋ ｒ ）?（Ｔ ｗｐ，ｉ － １ ＋ ｒ ）
ｉ
３，ｉ
２，ｉ
１，ｉ
１，ｉ
２，ｉ
Ｔ ＝ ，ｉ ＝ １ ，２，…，ｍ （４４）
ｗｐ，ｉ
１ － ｅｘｐ（ － ｒ Δ ｔ）（Ｔ ＋ ｒ ）?（Ｔ ＋ ｒ ）
３，ｉ ｉ ｗｐ，ｉ － １ １，ｉ ｗｐ，ｉ － １ ２，ｉ
－ ｒ ＋ ｒ ｅｘｐ（ － ｒ Δ ｘ?Ｖ）（Ｔ ｗｐ，ｉ － １ ＋ ｒ ）?（Ｔ ｗｐ，ｉ － １ ＋ ｒ ）
ｉ
１，ｉ
２，ｉ
ｉ
１，ｉ
２，ｉ
３，ｉ
Ｔ ｗｐ，ｉ ＝ ，ｉ ＝ １ ，２，…，ｍ （４５）
１ － ｅｘｐ（ － ｒ Δ ｘ?Ｖ）（Ｔ ｗｐ，ｉ － １ ＋ ｒ ）?（Ｔ ｗｐ，ｉ － １ ＋ ｒ ）
ｉ
１，ｉ
ｉ
２，ｉ
３，ｉ
式中：下标 “ ｉ” 为洞段编号；ｍ为洞段数；Δ ｘ＝ ｘ － ｘ 为洞段 ｉ的长度，ｍ；Ｖ为洞段 ｉ的平均流速，
ｉ ｉ ｉ － １ ｉ
ｍ?ｓ；Δ ｔ ＝ ｔ － ｔ ＝ Δ ｘ?Ｖ，ｓ；Ｔ ｗｐ，ｉ － １ 为洞段 ｉ进口时刻 ｔ 的水温，℃；Ｔ 为洞段 ｉ出口时刻 ｔ的水温，℃；
ｉ
ｉ － １
ｉ
ｗｐ，ｉ
ｉ
ｉ － １
ｉ
ｉ
２
２
ｂ ＋ ｂ－ ４ ａｃ ｂ － ｂ－ ４ ａｃ 槡 ２ ｉ ｉ
ｂ－ ４ ａｃ
槡
槡
ｉ
ｉ ｉ
ｉ
ｉ ｉ
ｉ
ｉ
ｉ
ｒ ＝ ，ｒ ＝ ，ｒ ＝ （４６）
２，ｉ
１，ｉ
３，ｉ
２ａ ｉ ２ａ ｉ ρ ＡＣ
ｉ ｐ
在已知时刻 ｔ ＝ ０ 洞段 １起始点 ｘ处的水温 Ｔ 的条件下，利用式（４４）或者式（４５）可以递推计算
０ ０ ｗｐ，０
出洞段 ｉ出口 ｘ在时段 Δ ｔ末了的水温 Ｔ 。由于系数 ｒ ＞０总是成立，水温 Ｔ 随时间 ｔ ＝ ｔ ＋ Δ ｔ ＋
０
１
ｉ
３，ｉ
ｗｐ，ｉ
ｗｐ，ｉ
ｉ
ｉ
Δ ｔ ＋ …＋ Δ ｔ或者距离 ｘ＝ ｘ＋ Δ ｘ＋ Δ ｘ＋ …＋ Δ ｘ的增加呈指数规律趋近于－ ｒ ＞０。
１，ｉ
２
１
２
ｉ
０
ｉ
ｉ
６ 算例
以南水北调中线京石段吴庄隧洞为例，定量分析洞内气温和水温的时空变化。
０
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