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而当水体通过无压隧洞时，水体不仅与洞壁发生热交换，并且与水面气体发生热交换，水温取决于洞
壁围岩的地温和气体温度的变化。
本文的主要研究内容是，首先建立有压隧洞水体与洞壁热交换的参数化方程和水温模型，并分析
水温的时空变化规律；然后建立无压隧洞水体与洞壁和气体热交换的参数化方程及水温模型，并分析
气温和水温的时空变化规律。

２ 有压隧洞的热交换

在地壳表层，由于太阳辐射的影响，其温度常有昼夜变化、季节变化和多年周期变化，这一层称
为外热层。在外热层的下界处，温度常年保持不变，等于或略高于年平均气温，这一深度带称为恒温
层或者恒温带。在恒温层以下，由于受地球内部热源的影响，温度开始随深度逐渐增高。
隧洞洞身通常位于恒温层，随着隧洞的开挖和通水，隧洞衬砌和周围围岩原来的热平衡被打破，
形成新的热平衡，隧洞衬砌和近洞围岩一定范围内成为变温层。
为了避免较复杂的不稳定温度场的计算，下面采用稳定温度场来分析水体与隧洞的热交换。研究
表明埋深超过 １０ｍ，地温通常不受地面温度年周期波动的影响，可视为深埋隧洞 ［１３］ 。
如图 １所示深埋隧洞，可将温度的分布划分为三层 ［１３］ ，第一
层为衬砌层，Ｒ ≤ ｒ ≤ Ｒ，其中 Ｒ和 Ｒ 分 别为隧 洞内径和 衬 砌 外
１
１
径；第二层为围岩变温层，Ｒ ＜ｒ ≤Ｒ，其中 Ｒ变温层外径；第三
２
１
２
层为围岩恒温层，ｒ＞Ｒ，地温 Ｔ为常数。
２ Ｄ
假设衬砌层和围岩变温层相同半径上的温度相同且与纵坐标
无关，则圆柱坐标系下的稳定温度场的热传导方程是
２
ｄＴ １ｄＴ
＋ ＝ ０ （１）
２
ｄｒ ｒｄｒ
式中：Ｔ为衬砌或围岩的温度，℃；ｒ为半径，ｍ。 图 １ 有压隧洞温度分层示意
求解式（１）常微分方程得
Ｔ ＝ Ｃｌｎｒ ＋ Ｄ （２）
ｄＴ Ｃ
＝ （３）
ｄｒ ｒ
衬砌层边界条件：当 ｒ ＝ Ｒ时，Ｔ ＝ Ｔ；当 ｒ ＝ Ｒ时，Ｔ ＝ Ｔ，其中：Ｔ为隧洞内壁温度，℃；Ｔ为衬
ｓ １ １ ｓ １
砌外侧表面温度，℃。把这些边界条件代入式（２）（３）可得
Ｔ－ Ｔ ｓ
１
Ｃ ＝ （４）
ｌｎ（Ｒ?Ｒ）
１
ｄＴ Ｔ－ Ｔ ｓ
１
＝ （５）
ｄｒ Ｒｌｎ（Ｒ?Ｒ）
ｒ ＝ Ｒ １
ｄＴ Ｔ－ Ｔ ｓ
１
＝ （６）
ｄｒ Ｒｌｎ（Ｒ?Ｒ）
ｒ ＝ Ｒ １ １ １
围岩变温层边界条件：当 ｒ ＝ Ｒ时，Ｔ ＝ Ｔ；当 ｒ ＝ Ｒ时，Ｔ ＝ Ｔ，其中变温层外侧温度 Ｔ 可视为常
１ １ ２ Ｄ Ｄ
数。把这些边界条件代入式（ ２）（３）可得
Ｔ － Ｔ １
Ｄ
Ｃ ＝ （７）
ｌｎ（Ｒ?Ｒ）
２
１
ｄＴ １ Ｔ － Ｔ １
Ｄ
＝ （８）
ｄｒ Ｒ ｌｎ（Ｒ?Ｒ）
ｒ ＝ Ｒ １ １ ２ １
ｄＴ ｄＴ
根据热平衡原理，在衬砌层和变温层的交界面上 ｋ ＝ ｋ ，联立求解式（６）（８）可得衬
１ ２
ｄｒ ｄｒ
ｒ ＝ Ｒ １ ｒ ＝ Ｒ １
６
— ４ ０ —