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密度试验研究了堆石料的级配对密度的影响，提出最大干密度与土料级配参数以及缩尺比例间的关
系；吴二鲁等 ［１５］ 采用上述连续级配函数，建立了级配函数参数与最大干密度的统一关系；朱晟等 ［１０］
通过大型现场密度试验，研究了不同的初始级配和缩尺方法对堆石料干密度的影响，并评估了缩尺效应
对模量的高估程度。对于级配不连续的堆石料也有部分学者开展了研究，如于际都等 ［１６］ 通过试验研究了
间断级配堆石料的压实特性，并基于试验结果建立了间断级配堆石料压实干密度的预测模型；文喜南
等 ［１７］ 在已有颗粒堆积模型的基础上假定了单一粒径的粗粒土颗粒的最优孔隙比与粒径呈幂函数关系，并
采用参数优化算法反演模型参数，预测了不同工程粗粒土的最小孔隙比。尽管这些试验结果均具有重要
的启示意义，但这些经验公式一般仅适用于某种特定的级配函数，研究结果的可拓展性有待进一步明确。
本文将提出一种可以快速预测给定级配堆石料密度的计算方法，并通过连续、间断级配的堆石料
试验结果验证该算法的合理性。最后，基于该预测算法讨论堆石料的粒径截断效应以及缩尺对堆石料
最大干密度的影响。

２ 颗粒最大干密度快速预测方法

２．１ 颗粒材料降维映射概念 颗粒堆积的问题一直是数学和
理论物理学界关心的问题。近年来，颗粒物理领域提出了降维
映射理论 ［１８］ ，用于解决球体的密实堆积问题。由于降维映射
理论本身并非局限于球形颗粒，因此在水利土木工程中也可以
将这个概念拓展到预测一般形态颗粒的最密实堆积。颗粒材料
降维的概念的核心是指将符合某一分布 Ｐ （ｄ）的三维颗粒堆
３Ｄ
积映射成一维的线段。此处，三维的粒径分布 Ｐ （ｄ）的定义
３Ｄ
是指粒径位于 ｄ到 ｄ ＋ ｄ ｄ的颗粒数目概率。为了方便理解，图 １
图 １ 三维颗粒与一维线段的映射关系
以球形颗粒为例给出了三维颗粒堆积示意图，假设有一条直线
穿越该颗粒堆积体，则该直线被这些颗粒的外表面分割成若干条线段。其中位于各个颗粒内部的线段
长度记为 Ｌ，这些线段的长度分布函数 Ｐ （Ｌ）可以与 Ｐ （ｄ）建立如下定量关系 ［１８］ ：
３Ｄ
１Ｄ
ｄ Ｍ
Ｐ （ｄ）ｄｄ
∫ ３Ｄ
Ｌ
Ｐ （Ｌ） ＝２ Ｌ ｄ Ｍ （１）
１Ｄ
２
Ｐ （ｄ）ｄｄｄ
∫ ３Ｄ
０
式中 ｄ为最大的颗粒粒径。
Ｍ
颗粒材料的降维概念建立了三维颗粒与一维线段之间的定量联系，因此，三维颗粒堆积形态的差
异均能通过一维线段的排列来表征。如两个颗粒的距离改变对应着这两个颗粒 “切割” 的线段之间距
离的改变。
然而，若要仅从一维的线段排列反映三维颗粒的堆积形态则需要给定这些一维线段间的间隙，换
言之，需要给定这些线段之间的势函数。需要说明的是，堆积模拟只要得出堆积的结果，并不需要完
全重现颗粒堆积的动力学过程。为此，势函数的具体形式只需要保证颗粒之间不发生重叠，且超过一
定间距之后颗粒之间不再具有相互作用即可。为此，本文采用以下最简单的形式：

{ ∞ ｈ＜ｍｉｎ（ｆＬ，ｆＬ）
ｊ
ｉ
Ｖ（ｈ） ＝ （２）
０ ｈ ≥ｍｉｎ（ｆＬ，ｆＬ）
ｉ ｊ
式中：Ｖ为两条线段间的势能，由于三维的颗粒是硬球，因此 Ｖ取值仅为零或者无穷大；ｈ为任意两
个线段 Ｌ和 Ｌ的邻近端的距离；ｆ为颗粒的自由体积参数。式（２）的势函数中可以通过参数 ｆ的取值确
ｉ ｊ
定一维线段之间的最小间距，当三维颗粒的形状从理想的球形变为不规则形状时，对应的一维线段之
间的最小间距增大。Ｓｈｅｎ等 ［１９］ 进一步通过模拟发现通过改变参数 ｆ的取值，可以反映不同形状系数的
颗粒材料堆积。表 １给出了一些文献中出现的典型颗粒材料对应的 ｆ取值 ［２０］ ，针对堆石料的参数 ｆ取

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