Page 20 - 2024年第55卷第2期

然后由式（２６）（２８）（１４）（１０）（８）（９）计算得时刻 ｔ的 Ｑ、－ Ｖ、Ｈ、Ｈ 、Ｑ 、Ｑ。但是，当 Ｈ≥Ｚ ，即
ｓ ａ ｓ Ｐ Ｔ ｓ ａｔ
空气阀完全关闭，则令 Ｈ ＝ Ｚ 、Ｑ ＝ ０、ａ ＝ ０、Ｍ ＝ ０，然后由式（１０）（８）（９）确定 Ｈ 、Ｑ 、Ｑ。
ｓ ａｔ ｓ ａ Ｐ Ｔ
阶段 ２：空气阀进气，Ｈ≡Ｚ 和 Ｚ ≤Ｈ≤Ｚ 。
ｓ ｃｔ ｃｔ ｃ ｍｔ
进入压力罐的气体，一部分可能被水流挟带进入输水管，另一部分将上浮到压力罐顶部使水位 Ｈ
ｃ
下降到 Ｚ 。挟带进入输水管气体与上浮到压力罐水面以上气体的比例与压力罐流速 Ｖ ＝ Ｑ?Ａ 和压力罐
ｃｔ ｓ ｃ
高度 ｈ ＝ Ｚ － Ｚ有关。Ｖ越大、ｈ越小，进入输水管的气体越多，但是具体多少，目前知之甚少。为了
ｃｔ
使问题简化，下面假设进入压力罐的空气不会被水流带走，而是上浮到压力罐水面以上。
当
ζ １
Ｑ ＝ Ｑ，Ｃ ＝ ＋ ，Ｃ ≡０，Ｃ ≡Ｚ ，Ｃ ≡０ （３２）
ａ ｓ ５ ２ ２ ５ａ ３１ ｃｔ ４１
２ｇ ω ２ ｇＡ
ｃ
则可采用阶段 １数学模型计算确定 ｐ、Ｑ、－ Ｖ、Ｈ 、Ｑ 、Ｑ，直到下式
ｒ ｓ ａ Ｐ Ｔ
－ Ｖ≥ － Ｖ ＋－ Ｖ （３３）
ａ ａ１ ｃ１
成立为止，即压力罐高程 Ｚ 以上空间全部被气体占据为止。式（３３）右边 － Ｖ 和 － Ｖ 分别为空气阀 － 检修
ｃｔ
ａ１
ｃ１
阀－ 连接管和压力罐上部的气体容积。
在阶段 ２，压力罐顶部绝对气体压强。
ｐ? γ ＝ ｐ? γ － （Ｈ－ Ｚ ） （３４）
ｃ ｃ ｃｔ
上式表明在阶段 ２期间，压力 罐气压 ｐ 小 于 空气阀气压 ｐ，这 意 味 着 压 力 罐 顶 部 相 对 气 压 小 于 大
ｃ
气压。
不过，如果在计算的过程中 ｐ ≥１，即 空 气 阀 开 始 排 气，则 水 力 瞬 变 跳 过 阶 段 ３，直 接 进 入 阶
ｒ
段 ４。
阶段 ３：空气阀进排气，Ｈ ＝ Ｈ≤Ｚ 。
ｃｔ
ｃ
ｓ
在阶段 ３，在气体等熵流动条件下，压力罐气压与空气阀 － 检修阀 － 连接管气压相同，即 ｐ＝ ｐ，
ｃ
当令
{ ζ ２ ＋ １ ２ ， Ｚ ≤Ｈ＜Ｚ ｃｔ
ｓ
Ｃ ≡０，Ｃ ＝ ２ｇ ω ２ｇＡ ｃ （３５）
５ａ
５
０ ， Ｈ＜Ｚ
ｓ
２
则仍然可用阶段 １的数学模型计算阶段 ３的水力瞬变。压力罐阻抗系数 Ｃ 右边第二项 １?（２ｇＡ）
ｃ
５
为水位 Ｈ 或者 Ｈ 变化在压力罐内产生的附加阻抗系数。
ｓ
ｃ
阶段 ４：压力罐上部存在气体，Ｈ＞Ｚ 。
ｓ
ｃｔ
（ １）气体压比与体积的关系。压力罐气体压比与气体体积的关系是
１?ｋ
ｐ － Ｖ＝ Ｃ，Ｈ≥Ｚ ｃｔ （３６）
ｓ
ｃ
ｃｒ
１?ｋ
式中：Ｃ ＝ ｐ － Ｖ 为常数；ｐ 为压力罐上部气体体积为 － Ｖ 时的压比，设阶段 ３结束时的压比为 ｐ，则
ｒ０
ｃ１
ｃ１
ｃｒ１
ｃｒ １
ｐ ＝ ｐ。
ｒ０
ｃｒ１
空气阀－ 检修阀－ 连接管气体压比与气体体积的关系是
１?ｋ
ｐ － Ｖ ＝ Ｍ ＲＴ?ｐ，Ｈ≥Ｚ （３７）
ｒ ａ ａ ａ ａ ｓ ｃｔ
设阶段 ３末了时刻气体质量为 Ｍ ，而压力罐上部和空气阀－ 检修阀－ 连接管气体质量分别为 Ｍ
ａ３０ ａｃ０
和 Ｍ ，则存在下述关系
ａ０
Ｍ ａ３０ ＝ Ｍ ＋ Ｍ ，Ｍ ?Ｍ ＝－ Ｖ ? － Ｖ ａ１
ａ０
ｃ１
ａｃ０
ａ０
ａｃ０
求解可得
Ｍ ＝ Ｍ ?（１ ＋－ Ｖ ? － Ｖ ），Ｍ ＝ Ｍ （ － Ｖ ? － Ｖ ）?（１ ＋－ Ｖ ? － Ｖ ） （３８）
ａ０ ａ３０ ｃ１ ａ１ ａｃ０ ａ３０ ｃ１ ａ１ ｃ１ ａ１
式中 Ｍ 和 Ｍ 也分别为阶段 ４初始时刻 ｔ压力罐和空气阀－ 检修阀－ 连接管内的气体质量，ｋｇ。
ａｃ０ ａ０ ０
（ ２）压力罐和空气阀流量与气体压比的关系。对于空气阀 － 检修阀 － 连接管，把式（６）代入式（１８）
可得 Ｑ、Ｑ 与 ｐ的线性代数方程
ｓ ｃ ｒ
２
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