Page 27 - 2025年第56卷第1期

对势” “偏联系数” “联系熵” “邻联系数” 这些伴随函数为主题开展检索， 进一步筛选水资源与相应
伴随函数的参考文献， 并进行关键词分析。 结果表明： 近年来水资源集对分析伴随函数中集对势和偏
联系数研究发展较快， 成果丰富； 减法集对势自 ２０１８ 年提出以来快速成为水资源集对分析的相对独
立分支， 目前已发展出半偏减法集对势、 热力学减法集对势等多种集对势方法； 偏联系数已发展出效
应全偏联系数、 半偏联系数等方法； 联系熵方法目前尚不成熟、 研究较少且相对独立； 邻联系数的研
究更少； 水资源集对分析伴随函数现有研究主要集中于水资源承载力、 旱灾风险、 地下水开采、 水质
等主题的综合评价、 趋势分析预测、 诊断识别等领域， 其中水资源承载力是当前研究的热点。 可见，
联系数伴随函数旨在处理联系数中的差异不确定性， 以定量刻画集对的关联属性， 实现同异反联系项
之间的相互转化； 集对势与偏联系数是当前联系数伴随函数最主要的研究方向； 集对势与偏联系数等
耦合成新的伴随函数将是今后重要的发展方向； 联系数伴随函数在水资源等实际问题的广泛应用验证

中得到了进一步改进、 完善和发展。
结合前述联系数伴随函数主要发展方向， 为不断深化对不同水资源集对关联属性的不确定性进行
客观承认、 系统描述、 定量刻画确定联系数、 构建相应的水资源集对分析方法的研究经验 ［５］ ， 以下重
点从联系数同异反关系形成确定、 集对势、 偏联系数、 邻联系数、 联系熵及耦合伴随函数方面对水资

源集对分析方法的理论研究进展进行阐述。
３．１ 水资源集对联系数确定方法 联系数同异反关系的确定是定量集对分析的基础， 在水资源集对分
析方法研究中， 结合水资源变量及其对立关系 ［２９］ ， 联系数 ａ＋ｂｉ＋ｃｊ ［５］ 各分量主要有以下不同取值方式：
（１）针对离散统计数据的水资源变量， 可以统计水资源集对所包含的特征数， 从同、 异、 反三方
面进行分类统计， 例如黄河陕县站（三门峡西站）与长江宜昌站年径流量丰平枯关系分析、 年径流丰枯
分类 ［３１］ 。
（２）有明确等级划分的水资源变量， 可将水资源及其相关影响因子的集对变量按其分级标准范围
进行等级划分， 用与等级数目相应元数的联系数进行集对分析 ［３０］ 。 如径流量可分成特枯、 枯、 中、 丰
和特丰 ５ 级， 采用均值标准差法分别按区间等分划分级别； 如果水资源样本值落在同一等级， 则记为
同 ａ， 与其相差 １ 级为差异一， 记为 ｂ ， 相差 ２ 级为差异二， 记为 ｂ ， 相差 ３ 级为差异三， 记为 ｂ ，
１ ２ ３
相差 ３ 级及以上为对立， 记为反 ｃ， 据此可构建五元联系数来表达水资源变量的变化特征 ［３１］ 。
（３）对于连续分布的水资源变量， 亦可根据水资源变量的临界变化特征用分段函数结构表征联系
数的同异反关系。 各评价指标样本和相应指标的评价等级标准构成一个集对。 如果样本的指标值落在
某个特定的评价等级内， 那么该样本与这一等级被视为同， 联系数取值为 １； 若指标值落在相隔等级，
就视为反， 联系数取值为－１； 若指标值落在相邻等级， 则视为异， 差异度系数 ｉ 在［ －１， １］区间取值
［２７］ 。 例如湖泊富营养化分级 ［２７］ 、 水资源
变化， 越靠近同一等级， ｉ 越接近 １， 反之， ｉ 相应越接近－１
承载力分级 ［１５］ 。 在五元或更多元的联系数中， 这样计算的单指标联系数在转化为隶属度及计算联系分
量时可能会出现多个零值问题， 文献［３２］ 提出取相隔两个及以上等级为反， 以缩短对立关系取值区
间、 减缓相邻两个等级的斜率， 进一步丰富样本值与评价等级标准间联系数的物理意义 ［３２］ 。
（４）面向变量间作用关系对联系数同异反进行取值。 可将水资源变量与其相互联系的变量的某种

作用关系构建为一个评价指标， 与相应的评价等级标准构成集对， 将指标样本值处在某评价等级中、
落在相邻等级和相隔等级分别定义为同、 异、 反关系进行量化计算。 例如水资源总量 ｙ 为因变量， 耕
ｉ
地面积 ｘ 、 人口数量 ｘ 和第二产业 ＧＤＰ ｘ 等变量 ｘ 为自变量， 运用基尼系数将两变量间的匹配关系 Ｚ
１ ２ ３ ｊ ｉｊ
（ｙ－ｘ 、 ｙ－ｘ 、 ｙ－ｘ ）组成为评价指标， 构建新变量 Ｚ 与基尼系数等级的集对， 实现各子区域水资源空
１ ２ ３ ｉｊ
间均衡的定量评价 ［１８］ 。
３．２ 水资源集对势方法 为度量联系数所反映的集对事件关联属性的整体发展联系趋势， 赵克勤 ［５］ 提
出用 ａ∕ｃ 表征集对事件这种联系趋势。 目前集对势已发展出多种形式， 根据集对势表达式的结构差异
可分为除法集对势 ［５］ 、 指数集对势 ［３３］ 、 减法集对势 ［１５］ 等， 其主要差异对见如表 １。 可见， 除法集对
势、 指数集对势、 减法集对势三种形式的集对势围绕反映 ２ 个集合在指定问题背景下某种联系趋势的
基本内涵， 在集对势原定义的基础上不断改进。 除法集对势中未体现差异度项 ｂｉ 的影响， 且受 ｃ≠０

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