Page 50 - 2025年第56卷第1期

３ 土壤干缩开裂和卷曲分析的基本方程

３．１ 水分扩散方程
３．１．１ 饱和土 土体的干缩开裂与水分蒸发密切相关， 水分的散失会引起土体基质吸力的增加， 从而
导致体积的收缩。 饱和土体的水分扩散过程通常采用理查兹方程描述， 具体为 ［３４］
ｈ （ｘ， ｔ）
ｍ
Ｃ（ｈ ） －Ñ·（Ｋ（ｈ ）Ñ（ｈ （ｘ， ｔ）＋ｚ））＝ Ｓ（ｘ， ｔ， ｈ ） （１）
ｍ ｍ ｍ ｍ
ｔ
式中： ｈ （ｘ， ｔ）为土壤中的孔隙压力水头， 是位置矢量和时间的函数； Ｃ（ｈ ）为单位孔隙压力水头变
ｍ ｍ
化引起的水分含量改变量， 即 Ｃ（ｈ ）＝ ω∕ ｈ ， 其中的 ω 为体积水分含量； Ｋ（ｈ ） 为水力传导系数，
ｍ
ｍ
ｍ
对于饱和土通常为常数； ｚ 为位置水头； Ｓ（ｘ， ｔ， ｈ ）为源汇项， 表示额外的水分输入或输出。
ｍ
在土壤物理学中， 理查兹方程常用体积水分含量来表达， 结合达西定律， 式（１）可表达为
ω（ｘ， ｔ）
－Ñ·（Ｄ（ω）Ñω（ｘ， ｔ））＝ Ｓ（ｘ， ｔ， ω） （２）
ｔ
式中： ω（ｘ， ｔ）为体积水分含量； Ｄ（ω）为水分扩散系数， 可通过试验测定， 与水力传导系数的关系为
Ｄ（ω）＝ Ｋ（ｈ ）∕Ｃ（ｈ ）； Ｓ（ｘ， ｔ， ω）为采用体积水分含量表示的源汇项。
ｍ ｍ
３．１．２ 非饱和土 对于非饱和土， 式（１）（２）中的水力传导系数 Ｋ ｈ ( ｍ ) 和水分扩散系数 Ｄ ω) 不再为常
(
(
数， 当已知非饱和土中的 Ｋ ｈ ( ｍ ) 或 Ｄ ω) 随水分含量的演化规律时， 式（１）（２）虽然也可用于非饱和土
水分流动的描述， 但由于缺乏对基质吸力、 饱和度和孔隙率等土体特性参数的刻画， 上述方程难以准
确反映非饱和土中的水分扩散规律。 在土力学中， 常用的非饱和土水分扩散方程为 ［３５］
æ Ｓ ｗ Ｓ ö ｐ（ｘ， ｔ） ε ｖ é ｋ ｋ ù
ｒ
ｗ
ç ＋ ÷ ϕ ＋Ｓ ｂ ＝ Ñ· ê ê （Ñｐ（ｘ， ｔ）＋ρｇｎ ） ú （３）
ｚ ú
ｗ
è ｐ ϕＭ ø ｔ ｔ ë μ û
式中： Ｓ 为饱和度； ｐ（ｘ， ｔ）为孔隙水压力； ϕ 为孔隙率； Ｍ 为比奥模量； ｂ 为比奥系数； ε ∕ ｔ 为体
ｗ
ｖ
积应变率， 反映土体骨架变形对扩散的影响； ｋ 、 ｋ 和 μ 分别为相对渗透率、 绝对渗透率和水的动力
ｒ
黏度； ρ 为水的密度； ｇ 为重力加速度； ｎ 为重力方向的单位矢量。
ｚ
本文结合土水特征曲线， 将式（３）表示为以体积水分含量为未知函数的非饱和土扩散方程 ［３６］
æ ω １ ϕ ö ö ω（ｘ， ｔ） ωｂ ε ｖ é ｋ ｋ ù
æ
ｒ
ç Ｌ（ω）＋ ç － ÷ ÷ φ（ω） ＋ ＝ Ñ· ê ê （φ（ω）Ñω（ｘ， ｔ）＋ρｇｎ ） ú （４）
ｚ ú
è ϕ Ｍ ｐ ø ø ｔ ϕ ｔ ë μ û
è
式中 Ｌ（ω）和 φ（ω）为水分含量的函数。
式（３）（４）包含了饱和度、 孔隙率、 比奥模量等土体特性参数， 且包含了土体骨架变形对扩散的影
响， 能更准确描述非饱和土中水分的扩散行为。
以孔隙水压力或体积水分含量为未知函数的扩散方程本质上为同一类方程， 在土力学中常根据不
同的物理背景选择合适的方程求解。 当给定求解的系统边界为压力时， 常采用孔隙压力作为未知函
数， 如水力劈裂问题。 在水分蒸发引起的土体收缩开裂和卷曲问题中， 常常给定已知的水分蒸发边界
条件， 多采用以体积水分含量作为未知函数的方程求解。
３．２ 考虑多物理场作用的土体本构关系
３．２．１ 弹性本构 蒸发作用下土体的收缩主要由水分的流失引起。 当土体处于饱和阶段， 其体积收缩
主要源自孔隙中水分的减少。 当土体进入非饱和阶段后， 由基质吸力的增加引起的土体孔隙和骨架的
体积减小便成为土体收缩的主要因素。 根据 Ｂｉｏｔ 有效应力原理 ［３７］ ， 土体的有效应力与总应变和孔隙
水压力的关系为 ［３８］
ｅ
σ＝ Ｃ ∶ ε－Ｓ ｐＩ （５）
ｗ
ｅ
式中： σ 为有效应力张量； Ｃ 为弹性张量； ε 为总应变张量； Ｉ 为二阶单位张量。
为了直接反映水分含量变化引起的土体体积收缩， Ｐｅｒｏｎ 等将式（５）改写为 ［３９］
ｅ ｍ ｅ ｈ
σ（ｘ， ｔ）＝ Ｃ ∶ ε ＝ Ｃ ∶ （ε－ε ） （６）
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