Page 9 - 2025年第56卷第2期

型已趋于完善，并逐步拓展到热－ 力耦合 ［４２ － ４４］ 和水 － 力耦合 ［４５ － ４６］ 问题的分析中，取得了丰硕的研究成
果，也为土体干缩开裂和卷曲问题的近场动力学模型构建和求解奠定了基础。
３．２ 水－ 力耦合分析的键型近场动力学模型 考虑土体的损伤效应对水分扩散的影响，可以导出饱和
土与非饱和土水分扩散方程的近场动力学形式，分别为 ［４７ － ４８］
ω （ｘ，ｔ） ω （ｘ′，ｔ） － ω （ｘ，ｔ）
∫
＝ 珘 （ｘ，ｘ′）Ｄ· ｄＶ （３）
μ
 ｔ Ｈ ｘ ｐ ξ ２ ｘ′
(
( Ｌ（ ω ） ＋ ω １  )) φ （ ω ） ω ω ｂ ε ｖ ＝ψ （ ω ） 珘 （ｘ，ｘ′）（ ω （ｘ′，ｔ） － ω （ｘ，ｔ））ｔｒＧ（ ξ ）ｄＶ ＋
∫
＋
－
μ
ｘ′
 Ｍ
 ｐ
 ｔ   ｔ
Ｈ ｘ
∫ ｘ′ ∫ ｘ′ （４）
珘 （ｘ，ｘ′）（ ψ （ｘ′，ｔ） － ψ （ｘ，ｔ））ｇ（ ξ ）ｄＶ· 珘 （ｘ，ｘ′）（ ω （ｘ′，ｔ） － ω （ｘ，ｔ））ｇ（ ξ ）ｄＶ ＋
μ
μ
Ｈ ｘ Ｈ ｘ
∫
＾
＾
００１
ρ （ｘ）ｇ 珘 （ｘ，ｘ′）（ｋ（ｘ′，ｔ） － ｋ（ｘ，ｔ））ｇ （ ξ ）ｄＶ ｘ′
μ
Ｈ ｘ
式中：ω （ｘ，ｔ）为 ｔ时刻 ｘ点的水分含量；ω （ｘ′，ｔ）为 ｘ′点的水分含量；Ｌ（ ω ）和 φ （ ω ）为水分含量的
＾
＾
函数 ［４９］ ；ψ （ ω ） ＝ｋ （ ω ） φ （ ω ）；ｋ （ ω ） ＝ｋｋ（ ω ）? μ ，其中 ｋ（ ω ）、ｋ和 μ分别为相对渗透率、绝对渗透率
ｒ
ｒ
和动力黏度；ｐ、 、Ｍ、ｂ、ρ 和 ｇ分别为孔隙水压力、孔隙率、比奥模量、比奥系数、水的密度和重
?ｔ为体积应变率，反映了土体骨架变形对扩散的影响；标量 ｇ （ ξ ）、矢量 ｇ（ ξ ）和矩阵
力加速度；ε ｖ  ００１
{ １ ｓ（ｘ，ｘ′，ｕ，ｕ′）＜ｓ
０
［５０］
μ
Ｇ（ ξ ）由近场动力学函数构成 ； 珘 （ｘ，ｘ′）为损伤函数， 珘 （ｘ，ｘ′） ＝ ０ ，当键
μ
的伸长率 ｓ（ｘ，ｘ′，ｕ，ｕ′）大于临界伸长率 ｓ时，键发生破坏；Ｄ 为近场动力学扩散系数，不同维度
０ ｐ
１Ｄ
３Ｄ
３
２Ｄ
２
下与传统扩散系数 Ｄ之间的关系为 Ｄ ＝ Ｄ?（ δ Ａ），Ｄ ＝ ４Ｄ?（ πδｈ），Ｄ ＝ ９Ｄ?（２ πδ），Ａ为一维杆的
ｐ ｐ ｐ
横截面积，ｈ为二维结构的厚度。
土体的运动方程与式（ ２）相同，为反映水分扩散的影响，式中的键型近场动力学力密度函数可以
表示为 ［５１］
珚
ｆ（ｘ，ｘ′，ｕ，ｕ′，ｔ） ＝ 珘 （ｘ，ｘ′）ｃ（ ξ ，δ ）（ｓ（ｘ，ｘ′，ｕ，ｕ′，ｔ） － αΔω （ｘ，ｘ′，ｔ））ｎ （５）
μ
ｐ
式中：ｃ（ ξ ，δ ）为改进的近场动力学微弹性模量 ［５２］ ，是物质点间位置矢量的函数，可以考虑微弹性模
ｐ
ω
量随空间距离增大而衰减的特性；Δ 珚 （ｘ，ｘ′，ｔ）为两物质点间的平均含水量的变化量；α为土体的平
均收缩系数，反映了单位失水量引起的体积收缩变化；ｎ为沿着键的单位矢量。
３．３ 隐式整体求解方法 近场动力学常用的显式动力学解法并不适合水分扩散与土体变形的耦合问
题。首先土体干缩开裂是典型的准静态问题，采用显式算法需要额外引入人工黏滞阻尼，获取系统的
稳态解。然而人工阻尼系数的选取依赖于经验，容易导致解偏离的问题，尤其当损伤产生以后。其
次，在显式算法中水分扩散方程求解时间步长在 １ｓ以上，而运动方程在满足收敛性的情况下，时间
－ ５
步长通常在 １０ 以下，这种时间步长不协调的情况会大大增加计算耗时。针对以上问题，本团队提出
了隐式求解整体算法，将扩散方程和运动方程耦合后，通过拉格朗日乘子法引入边界条件并采用增量
法进行求解。根据上述运动方程、水分扩散方程和近场动力学力密度函数表达式，可以导出水 － 力耦
合问题的求解方程，具体为 ［５１］
Ｂ
ｋ ｐ ｋ ｕ ｐ
ω
＝－ Δω （６）
０ ｋ ｕ Ｓ －
ｑ ω
Δ ｔ
ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ Ｔ Ｔ
，
式中：ｕ＝ ［ｕ，ｕ，ｕ，ｕ，ｕ，ｕ］、ｕ ＝ ［ Δω ｉ Δω ｊ ］分别为待求的位移和水分变化矩阵；ｋ、
ｐ ｉ ｘ ｉ ｙ ｉ ｚ ｊ ｘ ｊ ｙ ｊ ｚ ω ｐ
Δω
ｋ 和 ｋ 为刚度矩阵； 为上一个单位时间步水分含量的变化量；Ｂ和 Ｓ为体积力和源汇项矩阵。
ω ｑ
Δ ｔ
考虑求解系统中所有物质点的运动状态，基于式（ ６）建立所有物质点的整体求解方程，为
ＫＵ ＋ Φ＝ ０ （７）
通过拉格朗日乘子法引入边界条件，求解方程则为
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