Page 83 - 水利学报2025年第56卷第4期

３ ３
态的变化量，ｍ ?ｓ；τ ｄ 为渠池的滞后时间，ｓ；ｑ 为渠池出口流量相对于初始稳态的变化量，ｍ ?ｓ；
ｏｕｔ
３
ｑ ｏｆｆｔａｋｅ 为渠池取水口流量相对于初始稳态的变化量，ｍ ?ｓ。因取水口通常处于渠池下游渠段，即回水区
可通过理论公式计算
ｄ
内，积分时滞模型中取水口处流量变化的时间滞后可取为零。模型参数 Ａ 和 τ ｄ
出其近似估计值 ［２１］ ，或基于实测?仿真数据进行参数辨识得到其拟合值 ［２２］ 。
２．２ 多级串联渠道状态空间方程 以模型预测控制（ＭＰＣ）和线性二次最优（ＬＱＲ）为代表的现代最优
控制理论均是基于控制对象的状态空间方程进行应用计算的。对于长距离调水渠道，需建立包含多个
渠池的多级串联渠道系统的状态空间方程表达式。一般线性定常系统的状态空间方程形式为
ｘ（ｋ ＋ １） ＝Ａｘ（ｋ） ＋ Ｂｕ（ｋ） （２）
ｙ（ｋ） ＝Ｃｘ（ｋ） （３）
式中：ｋ为控制时步，ｋ ＝ ０ ，１，２，…，ｋ 分别与时间 ｔ ＝ ０ ，ＤＴ，２ＤＴ，…，ｋ ＤＴ对应，ＤＴ为控制
ｍａｘ ｍａｘ
时间步长，ｍｉｎ；ｘ为状态变量向量，包含串联各渠池的进、出流量及水位；ｕ为控制输入变量向量，
３
包含各节制闸的过闸控制流量，ｍ ?ｓ；ｙ为输出变量向量，包含串联各渠池的控制点水位，ｍ；Ａ、Ｂ、
Ｃ分别为系统矩阵、控制矩阵和输出矩阵，其矩阵元素取值由串联各渠池的积分时滞参数确定。
积分时滞模型（式（ １））的离散形式可写为：
ＤＴ
Δ ｅ（ｋ ＋ １） ＝ ［ｑ（ｋ － ｋ） － ｑ （ｋ） － ｑ ｏｆｆｔａｋｅ （ｋ）］ （４）
ｏｕｔ
ｉｎ
ｄ
Ａ ｄ
式中：Δ ｅ（ｋ ＋ １ ）为水位偏差的变化量，ｍ，有 Δ ｅ（ｋ ＋ １ ） ＝ｅ（ｋ ＋ １ ） － ｅ（ｋ）；ｋ 为滞后时步其值是滞后时
ｄ
( )
τ ｄ
间与控制时步之商四舍五入取整的结果，ｋ＝ ｒｏｕｎｄ ＤＴ 。
ｄ
式（ ４）通过相邻时步表达式做差可得到水位偏差的递推式为：
ＤＴ ＤＴ
Δ ｅ（ｋ ＋ １） ＝ Δ ｅ（ｋ） ＋ Δ ｑ（ｋ － ｋ） － ［ Δ ｑ （ｋ） ＋ Δ ｑ （ｋ）］ （５）
ｉｎ
ｄ
ｏｆｆｔａｋｅ
ｏｕｔ
Ａ Ａ
ｄ ｄ
３
式中：Δ ｑ、Δ ｑ 和 Δ ｑ 分别为渠池进口、出口和分水口单位时间步长的流量变化量，ｍ ?ｓ。
ｏｕｔ
ｏｆｆｔａｋｅ
ｉｎ
设渠道包含 Ｎ个渠池，则状态变量、控制输入变量和输出变量均为各渠池变量的向量集。各渠池
的控制点水位与各节制闸的过闸流量构成式（２）（３）中的矩阵，节制闸 ｉ（１＜ｉ＜Ｎ）即为渠池 ｉ － １的下游
闸门，亦为渠池 ｉ的上游闸门，其过闸流量方程在耦合的渠道系统状态方程中仅出现 １次。
２．３ 线性二次最优控制算法 线性二次最优控制算法属于状态反馈控制方法，以状态变量与控制变量
的加权平方和为性能指标，旨在得到控制过渡过程中使该性能指标最小的控制动作序列。其目标函数
的一般形式可写为：
∞
Ｔ
Ｔ
Ｊ＝ ∑ ［ｘ（ｋ）Ｑｘ（ｋ）＋ｕ（ｋ）Ｒｕ（ｋ）］ （６）
ｋ ＝０
式中：Ｑ为状态变量加权矩阵；Ｒ为控制变量加权矩阵。
由二次型最优控制理论可知，最优控制变量满足式（ ７）形式，即控制变量式状态变量的线性组合：

ｕ ＝－ Ｋｘ（ｋ） （７）
式中 Ｋ为最优增益矩阵，可通过解黎卡提方程得到。在 Ｍａｔｌａｂ中，可调用函数 ｌｑｒ（Ａ，Ｂ，Ｃ）或 ｌｑｒｙ
（Ａ，Ｂ，Ｃ）基于状态空间方程（式（２）（３））求解得到 Ｋ。前者的求解目标即为式（６），而在本文的多渠
池串联模型中，状态变量 ｘ包含了各渠池的历史流量记录、实时水位等信息，用于计算目标函数时会
增加其复杂程度，不利于 后 续 指 标 分 析。故 本 文 选 择 调 用 函 数 ｌｑｒｙ进 行 求 解，对 应 的 目 标 函 数 形
式为：
∞
Ｔ
Ｔ
Ｊ＝ ∑ ［ｙ（ｋ）Ｑｙ（ｋ）＋ｕ（ｋ）Ｒｕ（ｋ）］ （８）
ｋ ＝０
式中：ｙ为串联各渠池控制点水位偏差的集合；ｕ为各节制闸过闸流量的集合。因此，求解得到的最
优控制变量即对应最小的水位偏差和流量变化综合累积最小的控制目标。
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