Page 19 - 2025年第56卷第6期

所以
（8）
ΔA i ≈ 2πR i u i
在水击发生时，p i 和 p o 随时间变化，从而引起 ΔA i 随时间变化。对式（8）求导得：
̇
A i = 2πR i u ̇ i （9）
u ̇ 与管道内壁周向应变率 ξ θi 的关系 ［18］ 是：
̇
i
̇ （10）
u ̇ = R i ξ θi
i
根据式（9）（10），可得管道过水断面面积的相对膨胀率：
̇ 2 ̇ 2 ̇
A i /A i = 2πR i ξ θi / (πR i ) = 2ξ θi
当定义
̇
̇
K c = p ̇ / ( A i /A i ) = p ̇ / (2ξ θi ) （11）
i
i
把式（11）代入式（7），可得管道水击波速：
a = ( K/ρ)/ (1 + K/K c ) （12）
显然，管道内壁变形越大，K c 越小，水击波速也越小。
假设管材各向同性，且垂直于管轴的横截面在变形后仍保持为平面，则根据厚壁圆筒应变与应力
分析理论 ［18］ 可得下述基本方程：
ξ θ = [ σ ̇ - μ (σ ̇ + σ ̇ ) ] /E （13）
̇
θ
r
z
ξ z = [ σ ̇ - μ (σ ̇ + σ ̇ ) ] /E （14）
̇
z
θ
r
2 2 2 2
o
i
p ̇ R i - p ̇ R o ( p ̇ - p ̇ )( R i R o ) 1
o
i
σ ̇ = + （15）
θ
2 2 2 2 r 2
R o - R i R o - R i
2 2 2 2
i
o
i
o
p ̇ R i - p ̇ R o ( p ̇ - p ̇ )( R i R o ) 1
σ ̇ = - （16）
r
2
2
R o - R i 2 R o - R i 2 r 2
式中：σ 为管道应力，Pa；μ 为泊松比；下标 θ、r、z 分别表示管道周向、径向和轴向；下标 o 表示管
壁的外侧。
从式（13）可知，周向应变率 ξ θ 不仅与周向应力变化率 σ ̇ 有关，而且与径向应力变化率 σ ̇ 和轴向
̇
r
θ
应力变化率 σ ̇ 有关。管道轴向应变率 ξ z 和应力变化率 σ ̇ 与管道的支撑有关，可分为下述三种情况：
̇
z
z
（a）管道只在上游末端固定，
2 2 ) 2 2 ) ̇ （17）
σ ̇ = ( p ̇ R i - p ̇ R o /( R o - R i ，ξ z ≠ 0
z
i
o
（b）全管固定，没有轴向运动，例如地下埋管和衬砌隧洞，根据式（14），可得：
̇
σ ̇ = μ( σ ̇ + σ ̇ θ) ，ξ z = 0 （18）
r
z
（c）管道全部采用膨胀接头连接，例如管道采用承插式接头连接，
σ ̇ = 0 （19）
z
管道内壁面应力变化率的边界条件是：
2
2
2
2
2
σ ̇ θi = [ p ̇ ( R i + R o ) - 2p ̇ R o ] / ( R o - R i )，r = R i （20）
o
i
σ ̇ ri = -p ̇ ，r = R i （21）
i
管道外壁面应力变化率的边界条件是：
2
2
2
2
2
σ ̇ θo = [ 2p ̇ R i - p ̇ ( R i + R o ) ] / ( R o - R i )，r = R o （22）
i
o
σ ̇ ro = -p ̇ ，r = R o （23）
o
对管道支撑方式（a），把式（17）（20）（21）代入式（13）得管道内壁应变率：
)
ê ê 2 2 2 ( p ̇ R i - p ̇ R o 2 ) ù ú ú 1 é 2p ̇ R i - 2p ̇ R o 2 ù ú ú
ê ê
2
2
o
1 é p ̇ ( R i + R o ) - 2p ̇ R o
̇
ξ θi = ê ê i o - μ -p ̇ + i o ú ú = ê ê i 2 ( 1 - μ/2 + p ̇ (1 + μ ú ú ) （24）
i
i
E ë R o - R i 2 R o - R i 2 û E ë R o - R i û
2
2
2
对管道支撑方式（b），把式（18）（20）（21）代入式（13）得管道内壁应变率：
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