Page 22 - 2025年第56卷第6期

p ̇ 1 1
K c = 1 = （48）
2ξ ̇ 2 b - b w 2
θi，1 1，3 1，4
综上所述，复合管水击波速的计算程序是：由式（45）的代数递推计算得 w n ，w n - 1 ，⋯，w 2 ，然后
由式（48）计算复合管的弹性系数 K c ，最后由式（12）计算水击波速。由于在推导式（45）（48）（12）的过程
中，全面考虑了复合管影响周向应变率 ξ ̇ 的各因素，所以由此计算的水击波速是准确解。
θi，1
需要说明的是，由于在推导的过程中没有涉及具体的管材，式（45）（48）（12）不仅适用于各种管材
的厚壁管道和复合管道，而且也适用于薄壁管道、隧洞、带衬隧洞等，所以这些公式是准确计算水击
波速的通用公式。在一般情况下，公式所涉及参数在设计中均可得到。
下面将通过对准确计算水击波速的通用公式的解析，导出薄壁复合管道水击波速的近似公式，以
简化计算程序及比较分析传统复合管水击波速公式（2）（4）（6）存在的问题，以及各自的适用条件。

4 薄壁复合管道水击波速的近似公式

当管道直径 D j = 2R j 与壁厚 e j = R j + 1 - R j 的比值 D j /e j = 2R j /e j ≥ 25，可视为薄壁复合管道。下面研
究薄壁复合管道水击波速的解析求解。
对于薄壁管层：
2 2 2 2 2 2 2 2 （49）
R j ≈ R j - 1 + 2e j - 1 R j - 1 ，R j - R j - 1 ≈ 2e j - 1 R j - 1 ，R j + 1 ≈ R j + 2e j R j ，R j + 1 - R j ≈ 2e j R j
由 于 管 材 的 泊 松 比 μ < 0.5， 例 如 混 凝 土 μ = 0.1 ~ 0.15， 钢 管 μ = 0.25， 铸 铁 μ = 0.25， 塑 料 μ =
0.33，聚乙烯 μ = 0.46，环氧树脂 μ = 0.38，因此把式（49）代入式（41）得：
ì 1 2
ï ïb = 2R j - 1 c j - 1 ≈ R j - 1 c j - 1
ï ï j，1 E j - 1 R j - R j - 1 e j - 1 E j - 1
2
2
ï ï
ï ï 1 2R j 2 ) 1 R j - 1 ) R j - 1
ï ï b j，2 = 2 2 c j - 1 - 1 - μ j - 1 ≈ c j - 1 + 2c j - 1 - 1 - μ j - 1 ≈ c j - 1
ï ï E j - 1( R j - R j - 1 E j - 1( e j - 1 e j - 1 E j - 1
í （50）
ï ï 1 2R j 2 ) 1 R j ) R j
ï ï b j，3 = 2 2 c j + 1 + μ j ≈ c j + 1 + μ j ≈ c j
ï ï E j( R j + 1 - R j E j( e j e j E j
ï ï 2
ï ï b = 1 2R j + 1 c j ≈ R j c j + 2c j ≈ R j c j
ï ï j，4 E j R j + 1 - R j 2 e j E j e j E j
2
î
由式（50）可知，对薄壁管层：
b = b ，b = b ，b = b （51）
j，1 j，2 j，3 j，4 j，2 j - 1，3
对于 j = n 层，w n + 1 = 0，根据式（44）（46）：
n (
ξ ̇ θi，n = p ̇ b n，3 = p ̇ / 1/b n，3 ) （52）
n
对于 j = n - 1 层，根据式（45）（46）（51）：
w n = b / (b + b - b w n + 1 ) = b (b + b ) = b / (b + b ) = b / (b + b ) （53）
n，1 n，2 n，3 n，4 n，1 n，2 n，3 n，2 n，2 n，3 n - 1，3 n - 1，3 n，3
ξ ̇ = p ̇ n - 1 (b - b w n ) = p ̇ n - 1 [ b - b b / (b + b ) ] = p ̇ n - 1 / (1/b + 1/b ) （54）
θi，n - 1 n - 1，3 n - 1，4 n - 1，3 n - 1，3 n - 1，3 n - 1，3 n，3 n - 1，3 n，3
根据式（52）（54）描述的复合管道第 n 层和第 n - 1 层内壁周向应变率的数学描述，可推论得出第 1
层内壁周向应变率
1 (
n
n
ξ ̇ = p ̇ / 1/b + 1/b + ⋯ + 1/b + 1/b ) = p ̇ /∑ 1 = p ̇ /∑ e j E j （55）
θi，1 1，3 2，3 n - 1，3 n，3 1 b 1
j = 1 j，3 j = 1 R j c j
下面论证式（55）推论的正确性。当把复合管道第 2 至 n 层用一个等效 j = 2 层代替，其等效层内壁
周向应变率：
ξ ̇ = p ̇ b = p ̇ / (1/b ) = p ̇ / (1/b + 1/b + ⋯ + 1/b + 1/b )
θi，2 2 e2，3 2 e2，3 2 2，3 3，3 n - 1，3 n，3
b = 1/ (1/b + 1/b + ⋯ + 1/b + 1/b )
e2，3 2，3 3，3 n - 1，3 n，3
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