Page 51 - 2023年第54卷第1期

且可用于推求无资料站点的洪水频率分布 ［４ － ７］ 。需要指出的是，历史调查洪水的获取需要大量的考证
工作，且历史洪水量级的估算也存在较大不确定性；插补延长洪水序列需要相关性较高的参证变量，
同时还需要参证站具有较长的观测期，在资料缺乏的地区上述条件较难同时满足；区域洪水频率分析
方法较为复杂，所需的资料繁多，目前主要以理论研究为主。
除了历史洪水样本或区域洪水样本信息外，一些与洪水具有物理或统计相关的变量（如降雨、大
气环流指数等）也可以用于估计洪水频率分布 ［８ － １１］ 。大部分流域的洪水由暴雨形成，洪水与降雨之间
往往存在显著的相关性 ［１２］ ，国内外一些研究将降雨变量作为洪水频率分布参数的协变量，基于广义回
归模型构建随降雨变化的洪水频率分布 ［９ － １１］ 。以上研究通常将降雨变量默认为一种确定性的变量，然
而降雨本身作为一种自然现象，其量级大小必然具有一定的随机性，得到的洪水频率分布会随降雨的
剧烈变化而剧烈变化，这种剧烈变化可能与实际情况并不相符。因此，在洪水频率分析中将降雨变量
处理成确定性变量并不能合理反映洪水频率分布的变化规律。
本文基于层次模型构建一种融合降雨随机变量的洪水频率分布推导方法，将与洪水相关的降雨变
量定义为随机变量，并估计相应的频率分布描述其发生规律，然后基于广义回归模型构建洪水对降雨
变量的条件概率分布，最后由全概率公式推导出洪水频率分布。选取浙江省兰江流域兰溪水文站的年
最大洪峰流量作为研究实例，引入年最大 １５天前期影响雨量作为洪峰流量的相依性变量，由层次模
型推导该流域洪水频率分布，并进一步探讨引入降雨随机变量对提高洪水频率分布估计精度的意义。

２ 融合降雨随机变量的洪水频率分布推导法

２．１ 层次模型定义 本研究基于层次模型，提出了一种融合降雨随机变量的洪水频率分布推导方法。
定义某流域洪水变量为 Ｙ，其相依性降雨变量（如年降雨极值变量、不同时段的降雨量、雨强、暴雨笼
罩面积等）定义为 Ｘ，由一个条件概率分布表示 Ｙ与 Ｘ的相关关系，即：
Ｐ（Ｙ ≤ｙＸ ＝ ｘ） ＝Ｆ （ｙｘ） （１）
Ｙ Ｘ
式中 Ｆ Ｙ Ｘ （ｙｘ）为 Ｙ在 Ｘ ＝ ｘ条件下的概率函数，其密度函数 ｆ （ｙｘ）表达为：
Ｙ Ｘ
ｆ（ｘ，ｙ）
ｆ （ｙｘ） ＝ （２）
Ｙ Ｘ
ｆ（ｘ）
Ｘ
式中：ｆ（ｘ，ｙ）为洪水变量 Ｙ和降雨变量 Ｘ的联合概率密度函数；ｆ（ｘ）为 Ｘ的概率密度函数。将式
Ｘ
（ ２）写为：
ｆ（ｘ，ｙ） ＝ｆ（ｘ）·ｆ （ｙｘ） （３）
Ｙ Ｘ
Ｘ
根据全概率公式 ［１３］ ，洪水变量 Ｙ的概率密度函数 ｆ（ｙ）有如下表达式：
Ｙ
! !
∫
ｆ（ｙ） ＝ ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘ ＝ ｆ（ｘ）·ｆ （ｙｘ）ｄｘ （４）
Ｙ ∫ Ｘ Ｙ Ｘ
０ ０
由上式可知，除了直接由某一假定的理论频率分布直接拟合洪水样本序列之外，洪水变量 Ｙ的频率分
布还可以由降雨变量 Ｘ的概率分布 ｆ（ｘ）与条件分布 ｆ （ｙ ｘ）推导得到。根据式（４），洪水变量 Ｙ的
Ｘ
Ｙ Ｘ
频率分布可以表示为一个两阶段层次模型，即：
{ Ｙ Ｘ～ｆ （ｙｘ） （５）
Ｙ Ｘ
Ｘ～ｆ（ｘ）
Ｘ
式中 Ｙ Ｘ为 Ｙ对 Ｘ的条件分布。
本研究采用 Ｐ Ⅲ分布表示降雨变量 Ｘ的频率分布，为了便于表示分布的统计特征值，Ｐ Ⅲ分布的
概率密度函数写成如下形式：
１ － １
１ ｘ － μ Ｘ １ ν ２ Ｘ － ( ｘ － μ Ｘ ＋ １ ２)
） ＝ １ ( ＋ ２) ｅ μ σ ν
ｆ（ｘ；μ Ｘ ，σ Ｘ ，ν Ｘ Ｘ Ｘ Ｘ ν Ｘ （６）
( ２) μ Ｘ σ Ｘ ν Ｘ ν Ｘ
σ Ｘ μ Ｘ ν Ｘ Γ
ν Ｘ
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