Page 52 - 2023年第54卷第1期

ｘ － μ Ｘ １
＞０，ν Ｘ ≠０， 分别为分布的位置参数、尺度参数和形状参数，
式中：σ Ｘ ＋ ≥０；μ Ｘ 、σ Ｘ 与 ν Ｘ
２
μ Ｘ σ Ｘ ν Ｘ ν Ｘ
分别等于分布的均值 Ｅ（Ｘ）、离差系数 Ｃｖ以及 ０．５倍的偏态系数 Ｃｓ，具体参数值由极大似然法估计
得到 ［１４］ 。
２．２ 条件分布构建 采用基于正态分布的广义回归模型刻画洪水变量 Ｙ与降雨变量 Ｘ的关系，即：
＋ ２ ） （７）
ｙ ＝ μ Ｙ Ｘ ε Ｙ Ｘ ，ε Ｙ Ｘ ～Ｎ（０，σ Ｙ Ｘ
２
式中：μ Ｙ Ｘ 为洪水变量 在 Ｘ＝ ｘ时的条 件期 望 值；ε Ｙ Ｘ 为广 义 回 归 模 型 的 误 差 项；σ Ｙ Ｘ 为 误 差 项 的
方差。
２
基于式（ ７），洪水变量 Ｙ对降雨变量 Ｘ的条件分布可表示为 Ｙ Ｘ～Ｎ（ μ Ｙ Ｘ ，σ Ｙ Ｘ ），其概率密度函
分别为条件分布的位置参数和尺度
数进一步表示为 ｆ （ｙ ｘ） ＝ｆ（ｙ；μ Ｙ Ｘ ，σ Ｙ Ｘ ），其中 μ Ｙ Ｘ 和 σ Ｙ Ｘ
Ｙ Ｘ
参数。为了考虑洪水变量 Ｙ与降雨变量 Ｘ之间的线性或非线性关系，在广义回归模型的框架下，将
表达为 ｘ的线性、指数以及对数方程，具体如下：
μ Ｙ Ｘ 和 σ Ｙ Ｘ α ０ ＋ α １ ｘ
＝ ＋ ｌｎｘ
{ μ Ｙ Ｘ α ０ α １ ＝ ｅ ；μ Ｙ Ｘ α ０ α １ （８）
＝ ＋ ｘ；μ Ｙ Ｘ
β ０ ＋ β １ ｘ
＝ ＋ ｌｎｘ
＝ ＋ ｘ；σ Ｙ Ｘ
σ Ｙ Ｘ β ０ β １ ＝ ｅ ；σ Ｙ Ｘ β ０ β １
分别为广义回归模型的参数，由极大似然法估计得到 ［１４］ 的具体表
式中 α ０ 、α １ 、β ０ 和 β １ 。μ Ｙ Ｘ 和 σ Ｙ Ｘ
达式根据贝叶斯信息准则（ ＢＩＣ） ［１５］ 从线性、指数和对数方程中优选。由上可以看出，在广义回归模型
刻
中，条件分布的位置参数 μ Ｙ Ｘ 刻画了洪水变量 Ｙ条件期望值与降雨变量 Ｘ的关系，尺度参数 σ Ｙ Ｘ
附近的离散情况，表征了降雨变量 Ｘ之
画了随机误差项 ε Ｙ Ｘ 的分布，即实测洪水值 ｙ在其期望值 μ Ｙ Ｘ
间
外的随机因素（如降雨空间分布、雨强、蒸发等因素）对洪水变量 Ｙ的影响。此外，尺度参数 σ Ｙ Ｘ
越大说明洪水变量与降雨变量之间的相关性越弱。
接反映了 Ｙ与 Ｘ之间的相关性，具体来说，σ Ｙ Ｘ
２．３ 洪水频 率 分 布 计 算 与 拟 合 优 度 分 析 理 论 上 洪 水 变 量 Ｙ的 累 积 概 率 函 数 可 由 式 （４）推 求 得
到，即：
ｙ ｙ !
∫
Ｆ（ｙ） ＝ ｆ（ ξ ）ｄ ξ ＝ ｆ（ｘ）·ｆ （ ξｘ）ｄｘｄ ξ （９）
Ｙ Ｙ ∫∫ Ｘ Ｙ Ｘ
０ ０ ０
由于以上公式不存在解析解，本研究采用蒙特卡洛随机抽样的方法计算 Ｆ（ｙ）。首先基于降雨变量的
Ｙ
ｓ
ｓ
ｓ
频率分布函数 ｆ（ｘ）生成长度为 Ｎ的随机样本序列（ｘ，ｘ，…，ｘ），然后将降雨随机样本代入式（８）
Ｘ １ ２ Ｎ
ｓ
求得 Ｎ组条件分布 ｆ （ｙｘ）（ｉ ＝ １ ，２，…，Ｎ），最后由每一组条件分布分别生成一个关于洪水变量
Ｙ Ｘ
ｉ
ｓ
Ｙ的随机样本 ｙ（ｉ ＝ １ ，２，…，Ｎ）。对于任意洪水观测值 ｙ，其累积概率可以通过经验概率公式由随机
ｉ
ｓ
样本 ｙ（ｉ ＝ １ ，２，…，Ｎ）推求得到：
ｉ
１ Ｎ
ｓ
Ｆ（ｙ） ＝ ∑ １（ｙ ≤ｙ） （１０）
ｉ
Ｙ
Ｎ ＋ １ ｉ ＝１
采用 Ｋｏｌｍｏｇｏｒｏｖ － Ｓｍｉｒｎｏｖ（ＫＳ）方法 ［１６］ 检验洪水频率分布拟合优度，如果检验统计量对应的 ｐ值大
于某一阈值，则表明频率分布可以通过拟合优度检验，本研究中 ＫＳ检验 ｐ值的阈值取 ０．０５。为定量
评估洪水频率分布拟合偏差大小，计算理论频率和经验频率值的均方根误差 ＲＭＳＥ，具体表达式如下：
１ ｍ ｒａｎｋ （ｙ）
ｉ
ＲＭＳＥ ＝ ∑ [ ] （１１）
Ｆ（ｙ） －
槡 Ｙ ｉ ｍ＋ １
ｍ ｉ ＝１
式中：ｍ为实测洪水样本容量；ｒａｎｋ（ｙ）为实测洪水样本 ｙ在总体样本中的从小到大的序号。
ｉ ｉ
３ 实例研究
３．１ 研究区域与数据 选取位于浙江省的兰江流域作为研究区域，兰江是钱塘江上游面积最大的支
流，发源于浙、皖、赣交界的莲花尖，东行经开化、常山、衢县、龙游、兰溪，在梅城与新安江汇合
２
入富春江，其流域面积为 １９２４０ｋｍ ，河长为 ３０４ｋｍ。兰江流域属亚热带季风气候，多年平均降雨量
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