Page 76 - 2023年第54卷第1期

多目标问题转化 为 单 目 标 进 行 求 解，该 方 法 称 为 基 于 惩 罚 因 子 的 动 态 规 划 逐 次 逼 近 法 （ｔｈｅＤＰＳＡ
ＢａｓｅｄｏｎＣｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｏｆＰｅｎａｌｔｙＦａｃｔｏｒｓ ，即 ＣＰＦ － ＤＰＳＡ）。其计算流程与 ＤＰＳＡ大体一致，但需做如
下处理：
（１）ＤＰ状态转移方程。在计算初始调度线时，ＤＰ顺序递推算法的寻优递推方程为：


ｆ（ｔ ＋ １ ，ｋ） ＝ ｍａｘ （ｆ（ｔ，ｊ） ＋ Ｅ（ｔ，ｊ，ｋ）） （１０）
ｉ ｉ ｉ
ｊ ＝ １～ Ｌ ｉ，ｔ

式中：Ｌ 为第 ｉ水库 ｔ时段初状态（库蓄水量或水位）离散个数；ｆ（ｔ ＋ １，ｋ）为第 ｉ水库 ｔ时段末处于
ｉ，ｔ ｉ
第 ｋ个状态时，第 ｉ水库 １～ｔ时段总的最优发电量，ｋＷ·ｈ；Ｅ（ｔ，ｊ，ｋ）为第 ｉ水库 ｔ时段初处于第 ｊ状
ｉ
态、时段末处于第 ｋ状态时，第 ｔ时段的发电量，ｋＷ·ｈ。
在迭代计算时，使用 ＤＰＳＡ算法的寻优递推方程为：


ｆ（ｔ ＋ １ ，ｋ） ＝ ｍａｘ （ｆ（ｔ，ｊ） ＋ Ｅ（ｔ，ｊ，ｋ） ＋ ∑ Ｅ ｏｔｈｅｒ，ｌ （ｔ） － ｏＲ（ｔ） － ｏＲ（ｔ）） （１１）
ｉ
ｉ
ｉ
２ ２
１ １
ｊ ＝ １～Ｌ ｉ，ｔ
ｌ ＝１～Ｉ，ｌ ≠ｉ
式中：Ｅ ｏｔｈｅｒ，ｌ （ｔ）为 ｔ时段除 ｉ以外的其他水电站在原先调度线上，运行状态不改变情况下计算所得的发
电量，由于当前时段 ｉ水电站的不同决策会影响出库流量，故而下游所有水电站同时刻都会受到影响，
上游若受回水顶托也会有所影响，因而在寻优时考虑该项；ｏ、ｏ为对应于目标 ｆ、ｆ的惩罚因子，取
１ ２ ２ ３
非负数；Ｒ（ｔ）、Ｒ（ｔ）为 ｔ时段对于目标 ｆ、ｆ的惩罚基本量，可应用不同的惩罚策略：
１ ２ ２ ３
①线性型。可认为每一时段对应目标的破坏是不等价的，考虑计算值与基本量的不足程度，表示
为线性变化，如对最小出力的惩罚，可采用如下线性公式计算：
Ｒ（ｔ） ＝Ｎ － Ｎ（ｔ） ｔ ＝ １～ Ｔ （１２）
１ ｄ Ｓ
式中： Ｎ 为高于 Ｎ ｍｉｎ 的设计值，依此判断本时刻梯级总出力 Ｎ（ｔ）的基本惩罚量。
Ｓ
ｄ
②非线性型。可认为每一时段对应目标的破坏是不等价的，依据计算值与基本量的不足程度来评
判惩罚量级，不足程度越大，惩罚力度越大，表示为非线性变化，如对最小出力的惩罚，也可采用如
下指数型惩罚公式计算：
Ｒ（ｔ） ＝ａ Ｎ（ｔ）?Ｎ ｄ × （Ｎ － Ｎ（ｔ）） ｔ ＝ １～ Ｔ （１３）
１
ｄ
式中 ａ为底数，根据实际情况取适当值。
③常数型。可认为每一时段目标的破坏是等价的，不考虑破坏深度，如对生态目标，其惩罚基本
量可以常数的形式表示：
Ｒ（ｔ） ＝ ψ （ｔ） （１４）
２
（ ２）惩罚因子（ｏ，ｏ）取值。一般地，一组惩罚因子有可能得到一个多目标的非劣解，为了获得
１ ２
分布较为均匀、广泛、真正的非劣解集，必须对（ ｏ，ｏ）的影响范围和离散宽度做出判断。惩罚因子
１ ２
代入 ＣＰＦ － ＤＰＳＡ时分两阶段策略：
第一阶段：惩罚因子影响范围探测：
①点绘 ｆ － ｏ、ｆ － ｏ曲线；
３
１
２
２
②考查曲线变化趋势，分析排除接近于无影响区域得到惩罚因子的影响范围区间 Ｓ和 Ｓ，保证在
１
２
有效范围内确定因子取值；
③在 Ｓ和 Ｓ中，根据目标随因子变化的梯度选取因子离散值：在变化剧烈处可多选点，在变化平
１
２
缓处适量减少选点，得到相应的惩罚因子取值范围集合 ｓ和 ｓ，对应元素个数为 ｄ和 ｄ。
１ ２ １ ２
第二阶段：组合 ｓ和 ｓ得到数量为 ｄ× ｄ的取值空间，对组合中的每 一个 元素 逐 个 代入 ＣＰＦ －
２
２
１
１
ＤＰＳＡ求解非劣解，经过多目标筛选后得到非劣解集。
ＣＰＦ － ＤＰＳＡ算法的流程图以及梯级水库群多目标优化调度问题求解思路如图 １和图 ２所示。
３．３ 评价指标 在分析所得非劣解集的优劣时，需 考虑 其收 敛 性 和分 布的 多样 性，并与 其 他算法
比较 ［３０］ 。
（ １）采用超体积指标 ［１９］ （ＨＶ）来衡量个体所支配的空间，以综合评估解集 Ａ的收敛性和多样性：

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