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图 ２ 层状岩石地基有限元离散模型及波速间的关系

分为三类：自由表面点（０，０）、中部节点（０，ｎ）和底部边界节点（０，Ｎ）。结合式（１）中的传播规律并将
位移用中心差分法重新表示，当平面内 Ｐ波或 ＳＶ波入射时，ηΔ ｔ时刻层状地基体系的运动方程为：
２
２
２
２
２
η － １ Δ ｔ
η ＋ １ Δ ｔ
( Δ ｔ Ｋ － １ ，０ ) ｕ ＋ Ｍ ０ Ｋ － １ ，１ １ ( Δ ｔ Ｋ ０，０ ) ｕ－ Δ ｔ Ｋ ｕ－ Ｉ ＋ Δ ｔ Ｋ １，０ ) ｕ － Ｍ ２ Ｋ ｕ （ｎ ＝ ０ ）
(
η
η
η － １
η ＋ １
ｕ ＝ ２ Ｉ －
１ ＋
１，１ １
０
０，１ １
０
０
Ｍ
Ｍ
Ｍ
Ｍ
０
０
０
０
０
２
２
２
２
２
２
Δ ｔ Δ ｔ η ＋ １ Δ ｔ Δ ｔ Δ ｔ Δ ｔ
(
(
η ＋ １
η
η
η ＋ １
η
Ｋ ｕ ＋ Ｉ ＋ Ｋ ) ｕ ＋ Ｋ ｕ ＝－ Ｋ ｕ ＋ ２Ｉ － Ｋ ) ｕ－ Ｋ ｕ －
Ｍ － １ ，ｎ － １ ｎ － １ Ｍ － １ ，ｎ ｎ Ｍ － １ ，ｎ ＋ １ ｎ ＋ １ Ｍ ０，ｎ － １ ｎ － １ Ｍ ０，ｎ ｎ Ｍ ０，ｎ ＋ １ ｎ ＋ １
ｎ ｎ ｎ ｎ ０ ｎ
２
２
２
Δ ｔ η － １ Δ ｔ η － １ Δ ｔ η － １
ｕ － Ｉ ＋
ｕ
Ｋ １，ｎ － １ ｎ － １ ( Ｋ １，ｎ ) ｕ － Ｋ １，ｎ ＋ １ ｎ ＋ １ （ｎ ＝ １ ，２，…，Ｎ － １ ） （３）
ｎ
Ｍ Ｍ Ｍ
ｎ ｎ ｎ
２
２
２
２
２
Δ ｔ η ＋ １ ( Ｃ Δ ｘ ) Δ ｔ ｔ η ＋ １ Δ ｔ η Δ ｔ η Δ ｔ η － １
Δ
Ｂ
ｕ ＋ ２Ｉ －
ｕ －
Ｋ － １ ，ｎ － １ Ｎ － １ ( ＋ Ｋ － １ ，Ｎ) ｕ ＝－ Ｋ ０，Ｎ － １ Ｎ － １ ( Ｋ ０，Ｎ ) ｕ－ Ｋ １，Ｎ － １ Ｎ － １
ｕ ＋ Ｉ ＋
Ｎ
Ｎ
Ｍ ２Ｍ Ｍ Ｍ Ｍ Ｍ
Ｎ Ｎ Ｎ Ｎ Ｎ Ｎ
( Ｉ － ( Ｂ ＋ Δ ２ Ｋ １，Ｎ) ｕ ＋ ２ Ｆ Δ ｘ （ｎ ＝ Ｎ）
η － １ Δ ｔ
Ｃ Δ ｘ ) Δ ｔ ｔ
η
Ｂ
Ｎ
２Ｍ
Ｎ Ｍ Ｎ Ｍ Ｎ
式中：Ｍ、Ｃ、Ｋ分别为节点的质量、阻尼、刚度矩阵，下标为节点坐标；Ｃ 和 Ｆ 分别为阻尼系数和
Ｂ
Ｂ
底部应力型边界的集中荷载力；Ｉ为单位矩阵。
通过求解上述方程，可计算出成层半空间中 ｙ轴上所有节点的横向与竖向位移。有限元中四节点
矩形单元刚度矩阵的显式表达 Ｋ 如下：
ｉｎ
ｒｈ
ｒｇ
２（ｅ ＋ ｒｆ） －ｒｈ － ２ｅ ＋ ｒｆ 槡 － ｅ － ｒｆ 槡 ｅ － ２ｒｆ －ｒｇ
槡
槡
－ｒｈ ２（ｒｅ ＋ ｆ） －ｒｇ ｒｅ － ２ ｆ 槡 － ｒｅ － ｆ 槡 － ２ ｒｅ ＋ ｆ
ｒｈ
ｒｇ
槡
槡
－ ２ ｅ ＋ ｒｆ －ｒｇ ２（ｅ ＋ ｒｆ） 槡 ｅ － ２ ｒｆ 槡 － ｅ － ｒｆ －ｒｈ
ｒｇ
ｒｈ
槡
槡
ｒｇ
ｒｈ
ρ 槡 ｒｅ － ２ｆ 槡 ２（ｒｅ ＋ ｆ） －ｒｇ － ２ｒｅ ＋ ｆ －ｒｈ － ｒｅ － ｆ
槡
槡
Ｋ ＝ × （４）
ｉｎ
２ｒ － ｅ － ｒｆ 槡 ｅ － ２ ｒｆ －ｒｇ ２（ｅ ＋ ｒｆ） －ｒｈ － ２ ｅ ＋ ｒｆ 槡
ｒｈ
ｒｇ
槡
槡
槡
ｒｇ
ｒｈ
槡
槡
槡 － ｒｅ － ｆ 槡 － ２ｒｅ ＋ ｆ －ｒｈ ２（ｒｅ ＋ ｆ） －ｒｇ ｒｅ － ２ｆ
ｒｈ
ｅ － ２ｒｆ 槡 － ｅ － ｒｆ －ｒｈ － ２ｅ ＋ ｒｆ －ｒｇ ２（ｅ ＋ ｒｆ） 槡
ｒｇ
槡
槡
ｒｇ
ｒｈ
－ｒｇ － ２ ｒｅ ＋ ｆ －ｒｈ － ｒｅ － ｆ 槡 ｒｅ － ２ ｆ 槡 ２（ｒｅ ＋ ｆ）
槡
槡
２
２
２
２
２
２
２
式中：ρ 为弹性介质的密度；ｒ ＝ （ Δ ｘ? Δ ｙ），ｅ ＝ ｃ?３，ｆ ＝ ｃ?３，ｇ ＝ （３ｃ－ ｃ）?２，ｈ ＝ （ｃ－ ｃ）?２。
Ｐ
Ｓ
Ｓ
Ｐ
Ｓ
Ｐ
人工边界上应力 Ｆ 的计算原理如下：为保证边界上输入等效荷载后能保持位移与应力的一致性，
Ｂ
需将波场产生的应力与引入人工边界产生的应力进行叠加，Ｐ波和 ＳＶ波作用下等效荷载分别为：
Ｐ
{ Ｆ ＝ ｖ（ｘ，ｙ，ｔ）·（２ μ ｓｉｎ θ １ ｃｏｓ θ １ ?ｃ＋ Ｃ ｃｏｓ θ １ ） （５）
Ｐ
Ｂｘ
ＢＴ
２
Ｐ
Ｆ ＝ ｖ（ｘ，ｙ，ｔ）·（ － （ λ ＋ ２ μｃｏｓ θ １ ）?ｃ＋ Ｃ ｃｏｓ θ １ ）
Ｂｙ Ｐ ＢＴ
１
— １ ０ １ —