Page 93 - 2023年第54卷第9期

如图 ４所示，在三维场景中除规定地震波入射与 ｚ轴正方向的夹角为 θ （入射角），还引入了传播
平面与 ｘ轴的夹角 α （方位角）。

图 ４ 三维场地中地震波的传播
假设地震波从左下角点起振，设任意节点 Ｍ（ｘ，ｙ，ｚ）在图 ４（ａ）中 ｒ方向上距离起振点为 ｒ，当 Ｐ
波和 ＳＶ波入射时，位移表达方式如下：
ｕ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ） ＝ｕ（ｚ，ｔ － ｒ?ｃ）ｃｏｓ α
{ ｕ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ） ＝ｕ（ｚ，ｔ － ｒ?ｃ）ｓｉｎ α （１１）
ｘ
０ｒ
ｉｊ ｒ
ｙ
ｉｊ ｒ
０ｒ
ｕ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ） ＝ｕ（ｚ，ｔ － ｒ?ｃ）
ｉｊ ｒ
０ｚ
ｚ
当出平面 ＳＨ波入射时，振动方向垂直于图 ４（ａ）中的灰色平面，位移表达方式如下：
ｕ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ） ＝ｕ（ｚ，ｔ － ｒ?ｃ）ｓｉｎ α
{ ｕ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ） ＝－ ｕ（ｚ，ｔ － ｒ?ｃ）ｃｏｓ α （１２）
０ｒ
ｉｊ ｒ
ｘ
ｉｊ ｒ
０ｒ
ｙ
ｕ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ） ＝ｕ（ｚ，ｔ － ｒ?ｃ）
ｚ ０ｚ ｉｊ ｒ
式中 ｃ为地震波沿 ｒ方向传播的水平视波速。
ｒ
图 ４（ｂ）为底面上任意点在 ｒ方向投影后的新坐标，经过几何计算后，投影点 Ｍ 的坐标计算如下：
１
２
{ ｘ＝ （ｘ ＋ ｙｔａｎ α ）?（１ ＋ ｔａｎα ） ２ （１３）
１
ｙ＝ ｔａｎ α ·（ｘ ＋ ｙｔａｎ α ）?（１ ＋ ｔａｎα ）
１
当距离 ｙ轴的 ｒ方向长度不是 Δ ｒ的整倍数时，需对其进行线性插值，参考式（１０）即可。
３ 算例验证及方法讨论
３．１ 自由波场位移验证 图 ５为三维的成层场地有限域模型；地基材料参数如表 １所示。假设地震波
＝
起振点为地基左下角，入射脉冲波的位移时程如图 ６所示。分别分析垂直入射 Ｐ波、斜入射 Ｐ波（ θ Ｐ
＝ ６０°）、垂直入射 ＳＨ波和斜入射 ＳＨ波
４５° ，α Ｐ ＝ ４０°）、垂直入射 ＳＶ波、斜入射 ＳＶ波（ θ ＳＶ ＝ ３０°，α ＳＶ
＝ ２０° ）情况下，地基表面中点的位移响应情况。图 ７分别为 ６类情况下成层场地表面中
（ θ ＳＨ ＝ ５０° ，α ＳＨ

图 ５ 三维场地模型及观测点 图 ６ 输入地震动位移时程

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