Page 64 - 2021年第52卷第10期

)
S ′ =W (D ⋅ Δd ，t ∈ Ω （7）
t
t
t
由于月内径流分布的随机性，长期调度计算给定月均入流 q 时，所对应的水库不蓄弃水流量 S ′
t t
具有不确定性。为便于分析，本文将不确定变量 S ′ 定义为弃水风险评价指标，并采用历史径流资料
t
统计得到 q 与 S ′ 的相关数据集合，以分析两者的关系。
t t
2.2 联合分布构建及弃水风险定量评价 Copula 函数是一种构造多变量联合分布的有效方法，近年
来被国内外学者广泛应用于多变量水文分析计算领域 ［17-19］ 。其理论优势在于可以灵活构建任意边缘分
布的联合分布，并能够准确描述多变量间的相关性。下文基于 Copula 函数构建上述月均入流与弃水
风险的联合分布和条件概率分布，定量分析给定水库月均入流时的弃水风险并确定出置信区间。
2.2.1 Copula 模型选取及参数估计 假设随机变量 X、Y 分别表示月均入库流量与弃水风险，其边缘
]
分布函数分别为 u = F ( ) x 和 v = F ( ) y ，满足 u，v ∈[0，1 。由二元分布的 Sklar’定理 ［17］ 可知，X 和
s
X Y
)
Y 的联合分布可以用 Copula 函数 C (u，v 表示：
F (x，y = C (F ( ) x ，F ( ) ) （8）
)
y
X
Y
θ
)
y
式中：θ为 Copula 函数参数； F (x，y 为具有边缘分布 F ( ) x 和 F ( ) 的二元联合分布函数。
Y
X
X 和 Y 的联合概率密度函数表示为：
f (x，y = c (u，v f ( ) x f ( ) （9）
)
)
y
X
Y
其中：
∂ C (u，v )
2
)
c (u，v = （10）
∂u∂v
)
y
式中： c (u，v 为 Copula 函数的密度函数； f ( ) x 和 f ( ) 分别为随机变量 X 和 Y 的概率密度函数。
Y
X
y
由于 F ( ) x 和 F ( ) 的总体分布可能是不确定的，所以采用非参数核密度估计法得到样本的经
Y
X
验分布函数作为总体随机变量分布的近似。本文采用水文领域常用的 Archimedean Copula（AC）方法 ［18-19］ ，
并选择三种典型的 AC 函数构造月均入流与弃水风险的联合分布模型。
Gumbel Copula 函数：
ì
θ
é
)
C (u，v = exp í - (-lnu ) + (-lnv ) θ ù 1 θ ü ý ，θ ∈[1，∞ ) （11）
î ë û þ
Clayton Copula 函数：
æ
)
C (u，v = ç( u -θ + v -θ - ) 1 1 θ ö ÷，θ ∈[0，∞ ) （12）
è ø
Frank Copula 函数：
é -θu - -θv - ù
ê
)
C (u，v = - 1 ln 1 + ( e ) 1 ( e ) 1 ú ，θ ∈ R （13）
θ ê e -θ - 1 ú
ë û
采用极大似然估计法确定上述三种 Copula 函数的模型参数，并将每种分布与经验 Copula 的平方
2
欧式距离（ρ）作为拟合优度的评价指标，以ρ 最小选择适合的 Copula 函数作为月均入流与弃水风险的
2
联合分布。
2.2.2 条件概率分布及置信区间估计 根据确定的 Copula 联合分布函数，可以得到月均入库流量为
特定值时弃水风险的条件概率分布：
)
y
F ( ) = P (Y ≤ y | X = x = ∂C (u，v ) （14）
Y | X ∂u
相应的条件概率密度函数为：
)
y
f ( ) = c (u，v f ( ) （15）
y
Y | X Y
y
将 f ( ) 归一化处理可得到月均入流为特定值时可能的弃水风险及其概率，计算如下：
Y | X
— 1196 —