Page 88 - 2023年第54卷第1期

同，即产生相同的沉陷量。
在每个理想土块中，团粒孔隙可用 Ｋ个圆柱形孔隙描述，其中第 ｋ个圆柱形孔隙的半径为 ｒ。当
ｋ
土层在干燥失水过程中，第 ｋ个孔隙半径在其最大值 ｒ （图 ３（ｅ））至最小值 ｒ 范围内变化。
ｋ（ｍａｘ）
ｋ（ｍｉｎ）
需注意：虽然团粒内孔隙的形状不规则、结构迂曲，但由文献［ ３９］可知，对典型片状黏粒构成的
团粒间孔隙通常呈管状并能深入土层内部，故本文采用圆柱形孔隙来模拟团粒孔隙。此外，由文献
［ ２８］可知，团粒间孔隙的形状一般较为稳定，比团粒内孔隙的收缩量和膨胀量小。因此，下文的推导
更关注于形如圆柱的团粒孔隙如何随含水率变化。
在理想土块集合体（图 ３（ａ）（ｂ））的失水收缩过程中，当含水率为 Ｗ时，土块沿竖向产生的沉陷
量为 Δ Ｈ，故其高度变为 Ｈ － Δ Ｈ（图 ３（ｄ））；由图 ３（ｆ）可知，当土块失水收缩后，团粒孔隙体积会减
小，从而在第 ｉ个土块外产生宽度和长度分别为 Ｂ和 Ｌ的裂隙。这里假定所有裂隙均形如长方体，即
ｉ ｉ
可将图 ３（ｆ）所示土块右侧和下侧形成的裂隙拼接成尺寸为 Ｂ× （２Ｌ－ Ｂ） × （Ｈ － Δ Ｈ）的长方体裂隙。
ｉ
ｉ
ｉ
依据图 ３可先算得含水率为 Ｗ时，理想土块的团粒孔隙率 ｎ ：
（ａ）
Ｋ
２
２
（ｔ） ∑
ｎ ＝Ｖ ?Ｖ ＝ ［ π ｒ（Ｈ － Δ Ｈ）?（ＬＨ）］ （１９）
（ａ） ｖ（ａ） ｋ ｉ
ｋ ＝１
式中：Ｖ ｖ（ａ） 为团粒孔隙 体积；Ｖ 为理 想土 块 的总体 积 （Ｖ ＝Ｖ （ｉｎｉ） ）。需注 意：Δ Ｈ可 由沉 陷 率算得
（ｔ）
（ｔ）
λ
λ
（ Δ Ｈ ＝ Δ Ｈ ［（１ － Ｗ ）?（１ ＋ ξ Ｗ ）］，其中 Δ Ｈ 为 Ｗ＝ ０ 时的最大沉陷量）。
ｍａｘ ｍａｘ
土层孔隙率的最大、最小值（ ｎ 和 ｎ ）可分别表示为：
ｍａｘ ｍｉｎ
Ｋ
２
２
ｍａｘ ∑
ｎ ＝ ［ π ｒ Ｈ?（ＬＨ）］ （２０）
ｉ
ｋ（ｍａｘ）
ｋ ＝１
Ｋ
２
２
ｎ ＝ ［ π ｒ （Ｈ － Δ Ｈ ）?（ＬＨ）］ （２１）
ｍｉｎ ∑
ｉ
ｍａｘ
ｋ（ｍｉｎ）
ｋ ＝１
如 ３．２节所述，在土层的干燥失水过程中，团粒孔隙尺寸会随含水率变化，故可将式 （７）（２０）
（２１）代入式（１９）定量描述这两者的关系：
２
２
２
－ λ
Ｋ Ｋ ［ｒ － ｒ （１ － Δ Ｈ ?Ｈ）］（ ξ ＋ １ ）?（ ξ ＋ Ｗ ） ＋ ｒ （１ － Δ Ｈ ?Ｈ）
ｋ（ｍｉｎ）
ｍａｘ
ｋ（ｍｉｎ）
ｋ（ｍａｘ）
ｍａｘ
２
ｒ ＝
∑ ｋ ∑ λ λ （２２）
ｋ ＝１ ｋ ＝１ １ － Δ Ｈ （１ － Ｗ ）?［Ｈ（１ ＋ ξ Ｗ ）］
ｍａｘ
由于土块的高度远大于沉陷量（即 Ｈ远大于 Δ Ｈ ），则式（２２）可简化为：
ｍａｘ
Ｋ Ｋ
２
２
２
２
－ λ
ｒ＝
∑ ｋ ∑ ［（ｒ － ｒ ）（ ξ ＋ １ ）?（ ξ ＋ Ｗ ） ＋ ｒ ］ （２３）
ｋ（ｍａｘ）
ｋ（ｍｉｎ）
ｋ（ｍｉｎ）
ｋ ＝１ ｋ ＝１
由此可得土层的裂隙率为：
λ
Ｉ Ｉ （２ＬＢ － Ｂ ２ ）（Ｈ － Δ Ｈ ）（１ － Ｗ ）
２
２
∑
（ｃ） ∑
ｎ ＝ ［（２ＬＢ－ Ｂ）（Ｈ － Δ Ｈ）?（ＬＨ）］ ＝ [ ｉ ｉ（ｍａｘ） ｉ（ｍａｘ） λ ｍａｘ ] （２４）
ｉ
ｉ
ｉ ｉ
２
ｉ ＝１ ｉ ＝１ ＬＨ（１ ＋ ξ Ｗ ）
ｉ
式中 Ｂ 为第 ｉ个土块在 Ｗ＝ ０ 时的最大裂隙宽度。重新整理式（２４），进而将依据沉陷率求得的 Δ Ｈ
ｉ（ｍａｘ）
λ
λ
表达式（ Δ Ｈ ＝ Δ Ｈ ［（１ － Ｗ ）?（１ ＋ ξ Ｗ ）］）代入式（２４）中，可得：
ｍａｘ
λ
Ｉ Ｉ （２ＬＢ － Ｂ ２ ）（Ｈ － Δ Ｈ ）（１ － Ｗ ）
ｉ ｉ（ｍａｘ）
ｉ（ｍａｘ）
ｍａｘ
２
ｉ ∑
∑ （２ＬＢ－ Ｂ） ＝ { λ } （２５）
ｉ ｉ
λ
λ
ｉ ＝１ ｉ ＝１ ［ Ｈ － Δ Ｈ （１ － Ｗ ）?（１ ＋ ξ Ｗ ）］（１ ＋ ξ Ｗ ）
ｍａｘ
由于 ２Ｌ远大于 Ｂ ｉ（ｍａｘ） ，故可将式（２５）进一步简化，将裂隙宽度 Ｂ用 Ｂ ｉ（ｍａｘ） 表示：
ｉ
ｉ
λ
Ｉ Ｉ Ｂ ｉ（ｍａｘ） （１ － Δ Ｈ ?Ｈ）（１ － Ｗ ）
ｍａｘ
ｉ ∑
∑ Ｂ ＝ λ λ λ （２６）
ｉ ＝１ ｉ ＝１｛１ － （１ － Ｗ ） Δ Ｈ ?［Ｈ（１ ＋ ξ Ｗ ）］｝（１ ＋ ξ Ｗ ）
ｍａｘ
又 Ｈ远大于 Δ Ｈ ，则可将式（２６）进一步简化推得 Ｉ个土块的累计裂隙宽度表达式：
ｍａｘ
Ｉ Ｉ
ｉ ∑
∑ Ｂ ＝ Ｂ ｉ（ｍａｘ） （１ － Ｗ ）?（１ ＋ ξ Ｗ ） （２７）
λ
λ
ｉ ＝１ ｉ ＝１
由式（２７）亦可推得第 ｉ个土块的裂隙相对宽度表达式：
λ
λ
Ｂ?Ｂ ＝（１ － Ｗ ）?（１ ＋ ξ Ｗ ） （２８）
ｉ ｉ（ｍａｘ）
由式（ ２７）（２８）可知，采用参数 ξ 和 λ （用于计算团粒孔隙率、沉陷率和裂隙率）可计算给定含水率
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