Page 88 - 2023年第54卷第7期
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=    ?(1 - ν )            (5)
                                 σ x νσ y
              式中:G、λ 、ν 、c、c 分别为当前点所在土层的剪切
                               s   p
                                                                、
              模量、拉梅常数、泊松比、剪切波速和压缩波速;σ x
                     分别为地震作用下水平场地介质中产生的 x、y
              σ y 、τ xy
                                      
                                 
                                  up
                                       dn
              向正应力及剪应力;u 、u 分别为上、下行波的速度。
                  如图 3所示,采用有限元法求解波动问题时,地基                               图 3 折线坡面荷载作用下的散射分析示意
              采用平面应变单元离散,在地基有限域的截断处设置人
              工边界条件,本文以黏弹性人工边界为例,方法对于其他应力型?位移型人工边界同样适用。
                  法向、切向阻尼系数 C 、C 和法向、切向弹性系数 K 、K 为
                                                                    bN
                                                                         bT
                                            bT
                                       bN
                                                                GA?r
                                                      bN
                                                     K =α N∑ i i i
                                                     K =α T∑    GA?r
                                                      bT       i  i i
                                                                                                        (6)
                                                     C =      ρ i pi i
                                                      bN ∑
                                                                cA
                                                             i
                                                     C =      ρ i si i
                                                      bT ∑
                                                                cA
                                                             i
                          、c、c分别为当前节点的第 i个相邻单元所在土层的剪切模量、密度、剪切波速和压缩
                      i      pi  si
              式中:G、ρ i
                                                     i
              波速;r为当前节点到散射中心的距离;A 为当前节点对第 i个相邻单元的控制面积;系数 α N                                          和 α T
              分别取为 1.0和 0.5     [29] 。
                  对于图 2(a)中的模型,所模拟的阶梯状场地中认为坡面延伸到无穷远,理论上在坡面各处都应施
              加荷载F,假设离坡面足够远处的荷载对感兴趣区域(坝基附近区域)的影响可以忽略,坡面荷载作用
                      c
              下的动力平衡方程为
                                                                 
                         M cc  M ch  M cb  ü s  C cc  C ch  C cb  u s  K cc  K ch  K cb  u s  F c
                                                                  c
                                                                                          c
                                          c
                                          s
                                                                                          s
                         M hc  M hh  M hb ü +C hc  C hh   C hb   u s   hc  K hh   K hb  u = 0           (7)
                                                                  +K
                                          h
                                                                                          h
                                                                  h
                                                         h
                                                                                 h
                         M    M     M bb ü s  C    C    C + C g      K    K    K + K g   s    0
                                                                                     b b u
                                                                  s
                           bc   bh        b    bc   bh   b b  b b u    bc   bh   b b      b
                                                                  b
                                                                              s
              式中:M、C和 K分别为质量、阻尼和刚度矩阵;F 为边界 c上由 σ h                             所产生的等效节点力,可由下
                                                              c
              式计算得到
                                                F =      s (x,y,t)nA                                    (8)
                                                                      i i
                                                            c
                                                                c
                                                 c ∑ i σ h
                                                   s
                                                            i
              式中:对于边界 c节点,由式(2)可知 σ h               =- σ f ;n 为当前点的第 i个相邻单元边外法向单位向量。
                                                               s
                  由式(7)计算折线坡面荷载作用下的散射波场 u,将散
                                                               h
                      s
              射波场 u 和水平场地自由波场 u 叠加,得到地震波从下卧
                      h                      f
              半空间入射阶梯地形场地的总波场 u。直接法                      [30] 将地震动等
                                               h
              效力施加于近场地基 h的外边界(远场地基 g的内边界)处,
              将土- 结构相互作用考虑为外源波动问题。本文以内部子结构
              的方式,根据阶梯地形场地的实际波动 u 计算等效节点力,
                                                    h
              将地震动输入界面置于地基有限域内,从而可以在进行坝- 库                                      图 4 地震波动输入方式示意
              水- 地基体系动力相互作用分析时,将地基规模取得尽可能
              小,减少计算量。如图 4所示,将有限元离散区域中的节点分为五类:输入界面以内节点 I、界面以
              外节点 E以及界面区域 Ω中的 3层节点 A、B、C,节点等效力                          [11] 为
                                                    
                                                     t
                                             t
                                                              t
                                  F = M ·ü+ C ·u+ K ·u
                                { F = M ·ü+ M ·ü+ C ·u+ C ·u+ K ·u+ K ·u                t               (9)
                                   A
                                        AB
                                                AB
                                                              B
                                                         AB
                                                     B
                                             B
                                                                      
                                                             
                                                                       t
                                                              t
                                                     t
                                            t
                                                                               t
                                                                          BB
                                                                                        C
                                                                                   BC
                                                                               B
                                                                       C
                                                              B
                                   B
                                            B
                                       BB
                                                                  BC
                                                         BB
                                                     C
                                                 BC
                                  F = 0,F = 0 ,F = 0
                                   C      E       I
                  以内部界面节点力的形式输入地震动,内行波动从输入界面出发向结构传播,界面处的竖向网
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