Page 88 - 2023年第54卷第7期
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= ?(1 - ν ) (5)
σ x νσ y
式中:G、λ 、ν 、c、c 分别为当前点所在土层的剪切
s p
、
模量、拉梅常数、泊松比、剪切波速和压缩波速;σ x
分别为地震作用下水平场地介质中产生的 x、y
σ y 、τ xy
up
dn
向正应力及剪应力;u 、u 分别为上、下行波的速度。
如图 3所示,采用有限元法求解波动问题时,地基 图 3 折线坡面荷载作用下的散射分析示意
采用平面应变单元离散,在地基有限域的截断处设置人
工边界条件,本文以黏弹性人工边界为例,方法对于其他应力型?位移型人工边界同样适用。
法向、切向阻尼系数 C 、C 和法向、切向弹性系数 K 、K 为
bN
bT
bT
bN
GA?r
bN
K =α N∑ i i i
K =α T∑ GA?r
bT i i i
(6)
C = ρ i pi i
bN ∑
cA
i
C = ρ i si i
bT ∑
cA
i
、c、c分别为当前节点的第 i个相邻单元所在土层的剪切模量、密度、剪切波速和压缩
i pi si
式中:G、ρ i
i
波速;r为当前节点到散射中心的距离;A 为当前节点对第 i个相邻单元的控制面积;系数 α N 和 α T
分别取为 1.0和 0.5 [29] 。
对于图 2(a)中的模型,所模拟的阶梯状场地中认为坡面延伸到无穷远,理论上在坡面各处都应施
加荷载F,假设离坡面足够远处的荷载对感兴趣区域(坝基附近区域)的影响可以忽略,坡面荷载作用
c
下的动力平衡方程为
M cc M ch M cb ü s C cc C ch C cb u s K cc K ch K cb u s F c
c
c
c
s
s
M hc M hh M hb ü +C hc C hh C hb u s hc K hh K hb u = 0 (7)
+K
h
h
h
h
h
M M M bb ü s C C C + C g K K K + K g s 0
b b u
s
bc bh b bc bh b b b b u bc bh b b b
b
s
式中:M、C和 K分别为质量、阻尼和刚度矩阵;F 为边界 c上由 σ h 所产生的等效节点力,可由下
c
式计算得到
F = s (x,y,t)nA (8)
i i
c
c
c ∑ i σ h
s
i
式中:对于边界 c节点,由式(2)可知 σ h =- σ f ;n 为当前点的第 i个相邻单元边外法向单位向量。
s
由式(7)计算折线坡面荷载作用下的散射波场 u,将散
h
s
射波场 u 和水平场地自由波场 u 叠加,得到地震波从下卧
h f
半空间入射阶梯地形场地的总波场 u。直接法 [30] 将地震动等
h
效力施加于近场地基 h的外边界(远场地基 g的内边界)处,
将土- 结构相互作用考虑为外源波动问题。本文以内部子结构
的方式,根据阶梯地形场地的实际波动 u 计算等效节点力,
h
将地震动输入界面置于地基有限域内,从而可以在进行坝- 库 图 4 地震波动输入方式示意
水- 地基体系动力相互作用分析时,将地基规模取得尽可能
小,减少计算量。如图 4所示,将有限元离散区域中的节点分为五类:输入界面以内节点 I、界面以
外节点 E以及界面区域 Ω中的 3层节点 A、B、C,节点等效力 [11] 为
t
t
t
F = M ·ü+ C ·u+ K ·u
{ F = M ·ü+ M ·ü+ C ·u+ C ·u+ K ·u+ K ·u t (9)
A
AB
AB
B
AB
B
B
t
t
t
t
t
BB
C
BC
B
C
B
B
B
BB
BC
BB
C
BC
F = 0,F = 0 ,F = 0
C E I
以内部界面节点力的形式输入地震动,内行波动从输入界面出发向结构传播,界面处的竖向网
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