Page 87 - 2023年第54卷第12期

２．１ 对数公式 冰盖流纵向时均流速对数公式是基于 “双层假定” 将 Ｐｒａｎｄｔｌ紊流对数流速公式直接
应用到河床区（即 ０＜ｚ ≤ｈ）和冰盖区（即 ｈ≤ｚ＜Ｈ）中得到的，具体为 ［２９］ ：
ｂ ｂ
Ｕ － Ｕ ｍａｘ １ ｚ
ｂ
＝ ｌｎ ，０＜ｚ ≤ｈ
ｕ κ ｈ ｂ
ｂ ｂ
（１）
Ｕ－ Ｕ ｍａｘ １ Ｈ － ｚ
ｉ
＝ ｌｎ ，ｈ≤ｚ＜Ｈ
ｕ κ ｈ ｂ
ｉ ｉ
式中：Ｕ和 Ｕ分别为河床区和冰盖区的纵向时均流速，ｍ?ｓ；ｕ 和 ｕ 分别为河床区和冰盖区的摩阻
ｂ
ｉ
ｂ
ｉ
流速，ｍ?ｓ；Ｕ 为纵向时均流速沿垂向分布的最大值，ｍ?ｓ；ｈ和 ｈ分别为河床区和冰盖区的水深，
ｍａｘ
ｉ
ｂ
ｍ；Ｈ为总水深且 Ｈ ＝ ｈ＋ ｈ，ｍ；ｚ为垂向坐标，ｍ；κ为卡门常数且 κ ＝ ０．４ 。
ｉ
ｂ
于是，根据连续介质假定，对数流速公式（ １）需满足以下条件：
（１）河床区和冰盖区交界面处的速度连续，即当 ｚ＝ｈ时，Ｕ ＝ Ｕ ＝ Ｕ 。
ｂ ｂ ｉ ｍａｘ
ｄＵ ｂ ｄ Ｕ ｉ
（ ２）河床区和冰盖区交界面处的速度梯度连续，即 ＝ 。
ｄｚ ｄｚ
ｚ ＝ ｈ ｂ ｚ ＝ ｈ ｂ
２．２ 双幂律公式 虽然对数流速公式在河床区和冰盖区交界面处满足速度连续条件，但难以满足速度
梯度连续条件（后续进行详细讨论）。也就是说，基于对数公式，预测的纵向时均流速垂向分布在交界
［３０］
面处是连续不光滑的。鉴于此，Ｔｓａｉ 基于明渠流的指数流速公式，提出了冰盖流纵向时均流速垂向
分布的双幂律公式：
１ １
ｚ ｍ
ｚ ｍ
ｂ
１ －
Ｕ ＝ Ｋ ( ) ( ) ｉ （２）
０ Ｈ Ｈ
式中：Ｋ为与单宽流量 ｑ相关的待定参数，ｍ?ｓ；ｍ 和 ｍ分别为与河床粗糙度和冰盖粗糙度相关的参
０ ｂ ｉ
数；其余物理量含义与对数公式（ １）中的相同，这里不再赘述。
当 ｍ趋于无穷大时，式（２）即化为明渠流纵向时均流速的指数公式，此时 Ｋ与 Ｕ 相对应。对式
ｍａｘ
０
ｉ
（２）进行求导，可得速度梯度为：
ｄＵ １ １
＝ Ｕ [ － ] （３）
ｄｚ ｍ ｚｍ（Ｈ － ｚ）
ｂ
ｉ
显然，速度梯度关于垂向坐标 ｚ在区间（０，Ｈ）上是连续的，意味着双幂律公式（２）表征的纵向时均流
速 Ｕ沿垂向是连续光滑的。
为了应用双幂律公式预测冰封河道纵向时均流速的垂向分布，首先需要获知粗糙度参数 ｍ 和 ｍ，
ｂ ｉ
以及流量参数 Ｋ，下面将详细介绍这三个物理量的确定过程。
０
令 ｄＵ?ｄｚ ＝ ０，可得最大纵向时均流速 Ｕ 的垂向位置，即河床区的水深：
ｍａｘ
Ｈ
ｈ＝ ｚ ＝ （４）
ｂ
ｍａｘ
１ ＋ ｍ ?ｍ
ｂ ｉ
［３０］
根据 Ｔｓａｉ 的研究，参数 ｍ 和 ｍ可分别表示为：
ｂ
ｉ
８
８
ｍ ＝ κ ( ) ０．５ ，ｍ ＝ κ ( ) ０．５ （５）
ｉ
ｂ
ｆ
ｉ
ｂ ｆ
式中 ｆ和 ｆ分别为河床和冰盖边界的达西－ 威斯巴赫阻力系数。在工程实践中，一般用曼宁糙率来表示河床
ｉ
ｂ
和冰盖的阻力系数。于是，将谢才公式与曼宁公式相结合，河床和冰盖的阻力系数 ｆ和 ｆ可分别表示为：
ｂ
ｉ
２
８ｇｎ ２ ８ｇｎ ｉ
ｂ
ｆ ＝ ，ｆ ＝ （６）
ｂ １?３ ｉ １?３
Ｒ ｂ Ｒ ｉ
２
式中：ｇ为重力加速度，ｍ?ｓ；ｎ和 ｎ分别为河床底部和冰盖底面的曼宁糙率；Ｒ和 Ｒ分别为河床区
ｂ ｉ ｂ ｉ
和冰盖区的水力半径，ｍ。
Ｚａｒｅ等 ［３２］ 通过将天然河道断面概化为矩形，给出了冰封河道水力半径的经验方程。基于此，河床
区和冰盖区的水力半径可分别表示为：
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