Page 46 - 2025年第56卷第2期

质上是众多微小物质颗粒的统计量，可由概率密度函数来描述。与之对应，监测站点处观测到的污染
物质来源于上游某一位置的可能性大小也可用概率密度函数表示，即逆向位置概率密度 ［２３］ 。以 Ｐ（ｘ，
ｔ′）表示逆向位置概率密度，则 Ｐ（ｘ，ｔ′）满足对流扩散方程（８）的伴随方程。
 Ｐ（ｘ，ｔ′）  Ｐ（ｘ，ｔ′）   Ｐ（ｘ，ｔ′）
－ Ａ ＋ Ｑ ＋ ( ) － ｋＡＰ（ｘ，ｔ′） ＝０ （１９）
ＤＡ
ｓ
 ｔ′  ｘ  ｘ  ｘ
－ １
式中：ｘ为污染物排放位置；ｔ′为逆向计算时间；ｔ为污染物浓度起始观测时间；Ｐ（ｘ，ｔ′）具有 ｍ 的
ｄ
量纲。
对应地，将 Ｃ（ｘ，ｔ）归一化后可用于表示浓度分布的概率密度：
ｃ（ｘ，ｔ） ＝Ｃ（ｘ，ｔ）?ｃ （２０）
０
式中 ｃ为污染物排放位置处的断面初始浓度。
０
污染物浓度分布概率密度与逆向位置概率密度之间具有一一对应关系，如图 ７和式（２１）所示。
Ｐ（ｘ，ｔ′） ＝ｃ（ｘ，ｔ） （２１）
０ ｄ
式中：ｘ为污染物浓度观测断面位置，ｍ；ｘ为污染物排放位置，ｍ。
０
ｄ

图 ７ 浓度分布概率密度和逆向位置概率密度
ｏｂｓ
假设观测断面处实测浓度系列为 Ｃ ，模拟浓度系列为 Ｃ，对应位置概率密度系列为 Ｐ，ｋ ＝ １，
ｋ ｋ ｋ
２，…，ＮＴ（ＮＴ为观测系列长度）。研究基于 Ｐ（ｘ，ｔ′）与 Ｃ（ｘ，ｔ）两者的高度耦合关系，即两者在相步
ｏｂｓ
上完全一致，采用线性回归方法来构建优化模型以求解污染源参数。通过回归分析，得到系列 Ｃ 与
ｋ
Ｐ的相关系数如下：
ｋ
ＮＴ
ｏｂｓ
ｏｂｓ
∑ （Ｃ － Ｃ ）（Ｐ － Ｐ ）
ｋ
ｋ
ｋ ＝１
Ｒ ＝ （２２）
ＮＴ ＮＴ
ｏｂｓ
ｏｂｓ ２
∑ （Ｃ － Ｃ ） ∑ （Ｐ － Ｐ ） ２
槡 槡
ｋ
ｋ
ｋ ＝１
ｋ ＝１
ｏｂｓ
ｏｂｓ
式中：Ｃ 为 Ｃ 的均值；Ｐ为 Ｐ 的均值。
ｋ
ｋ
当需要识别的源参数 ｘ和 ｔ越接近真实值时，Ｒ取值越接近 １。因此，可构建如下优化目标函数：
０
０
２
ｍｉｎ［ａｂｓ（１ － Ｒ）］ （２３）
由式（ ２２）（２３）构成的优化模型仅与污染源位置和时间有关，而污染物排放总量 Ｍ 则独立于排放
位置和排放时间单独求解。在确定了排放位置和排放时间后，进一步构建关于 Ｍ的优化模型见式（２４）：
２
[ ( Ｍ ｏｂｓ )]
ｍｉｎ ∑ ω ｋ Ａ Ｃ － Ｃ ｋ （２４）
ｋ
ｏｂｓ ２
式中 ω ｋ 为权重系数，ω ｋ ＝ １? （１ ＋ Ｃ ），ω ｋ 的引入可避免对浓度较大观测值的过拟合。
ｋ
构建优化模型后，求解该模型即可得到污染源具体信息，具体求解可参考文献［ ２４］。
３ 模型应用
３．１ 典型案例 研究选取图 ８所示的某平原区河网为典型案例，图中给出了该河网的概化示意图及主
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