Page 23 - 2023年第54卷第7期
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把式（２２）和式（２６）代入式（２９），得气体流量 Ｑ与压比 ｐ的关系式，
ｓ ｒ
ｐｐ? γ ＝ （Ｃ?Ｃ－ Ｑ?Ｃ） ＋ Ｈ － （Ｃ＋ ＣＱ） － （２Ｃ Ｑ Ｑ－ Ｃ Ｑ Ｑ ）
ａ ｒ １ ２ ｓ ２ ａ ３ ４ ｓ ５ ｓ０ ｓ ５ ｓ０ ｓ０
整理得
Ｑ ＝ Ｃ－ Ｃｐ （３１）
７ ｒ
６
ｓ
式中
Ｃ＋ Ｃ（Ｈ － Ｃ＋ Ｃ Ｑ Ｑ ） ｐ ａ Ｃ ２
ａ
２
ｓ０
５
１
３
ｓ０
Ｃ ＝ ，Ｃ ＝ （３２）
６
７
１ ＋ Ｃ（Ｃ＋ ２ Ｃ Ｑ ） γ １ ＋ Ｃ（Ｃ＋ ２ Ｃ Ｑ ）
２ ４ ５ ｓ０ ２ ４ ５ ｓ０
把式（ ３１）代入式（２７）得气体体积 Ｖ与压比 ｐ的关系式
ｒ
Ｖ ＝ Ｃ＋ Ｃｐ （３３）
８
９ ｒ
式中
Ｃ ＝ Ｖ－ ０．５ Δ ｔ（Ｃ＋ Ｑ ），Ｃ ＝ ０．５ Δ ｔＣ ７ （３４）
８
０
９
ｓ０
６
把式（ ３３）气体体积 Ｖ代入等熵条件的气体状态方程式（１８），并对气体质量 Ｍ 取二阶近似得
ａ
１?ｋ
Ｆ ＝ ｐ （Ｃ＋ Ｃｐ） － （Ｍ ＋ ０．５ Δ ｔ（Ｍ ＋ Ｍ ））（ＲＴ?ｐ） ＝０ （３５）
ｒ ８ ９ ｒ ａ０ ａ０ ａ ａ ａ
由于多变指数 ｋ ≠１，函数 Ｆ不是压比 ｐ的抛物线方 程，不能 采 用 Ｗｙｌｉｅ和 Ｓｔｒｅｅｔｅｒ的 数 值算法
ｒ
求解。
由于式（ ３５）函数 Ｆ中只有压比 ｐ是未知量，采用牛顿－ 雷伏生数值计算方法得
ｒ
Ｆ ＋ Ｆ Δ ｐ＝ ０
ｐ ｒ ｒ
整理得下述迭代计算求解 ｐ的联立方程组
ｒ
Δ ｐ ＝－ Ｆ?Ｆ ｐ （３６ａ）
式中：
１?ｋ
Ｆ ＝ ｐ （Ｃ＋ Ｃｐ） － （Ｍ ＋ ０．５ Δ ｔ（ Ｍ ＋ Ｍ ））（ＲＴ?ｐ） （３６ｂ）
ｒ ８ ９ ｒ ａ０ ａ０ ａ ａ ａ
ｄ Ｆ １ ｋ ＋ １ ｄ Ｍ ａ
１?ｋ
Ｆ ＝ ＝ ｐ ( Ｃ＋ Ｃ ) － ０．５ Δ ｔ （ＲＴ?ｐ） （３６ｃ）
ｐ ｒ ８ ９ ａ ａ
ｄｐ ｋｐ ｋ ｄｐ
ｒ
ｒ
ｒ
{ ｐ ＋ Δ ｐ， Δ ｐ ≤σ
ｒ
ｒ
ｒ
ｐ＝ （３６ｄ）
ｒ ｐ ＋ σΔ ｐ?Δ ｐ ， Δ ｐ ＞ σ
ｒ
ｒ
ｒ
ｒ
式中 ０＜ σ≤１为收敛因子。当取 σ ＝ １ ，相当于把每次迭代计算 ｐ的改变限制在 １的范围内，即空气阀
ｒ
底部相对水压的改变限制在 １个大气压的范围内。此外，如果迭代计算过程中出现 ｐ＜０，则会导致
ｒ
Ｍ 无实数解，这时，可令 ｐ＝ ０ ．１（相当于负压水头 － ９ｍ ，一般达到液体汽化的压力），以便继续迭代
ａ
ｒ
计算求解。
由于空气阀亚声速进排气质量流量导数（ ｄ Ｍ ?ｄｐ） ｐ ｒ ＝ １ →∞，即空气阀质量流量 Ｍ 对压比 ｐ的导
ａ ｒ ａ ｒ
数在 ｐ＝ １ 是不连续的，为了克服这一困难，建议采用下述数值差分方法
ｒ
ｄ Ｍ ａ Ｍ （ｐ ＋ δ ） － Ｍ （ｐ － δ ）
ｒ
ａ
ｒ
ａ
＝ （３６ｅ）
ｄｐ ２ δ
ｒ
－ ７
式中 δ ＞０为 ｐ的微小增量，可取 δ ＝ １０ 。
ｒ
当不考虑空气阀高度影响时，只需令 Ｚ ＝ Ｚ，则上述空气阀水力瞬变计算数学模型同样适用。
ａｔ
计算是由 ｔ ＝ ０ 开始，初始条件是
０
Ｖ ＝ ０，Ｍ ＝ ０，Ｑ ＝ ０，Ｈ ＝ Ｚ ａｔ （３７）
０
ａ０
ｓ０
ｓ０
当空气阀排尽气体时，
Ｑ ＝ ０ ，Ｈ ＝ Ｚ ，Ｖ ＝ ０ ，Ｍ ＝ ０ （３８）
ａ
ｓ
ａｔ
ｓ
当 Ｖ ＝ ０ 、Ｑ ＝ ０ 、Ｈ ＝ Ｚ 时，空气阀接头处的边界条件就是 Ｈ 、Ｑ 、Ｑ的一般的内截面解，
Ｐ
Ｔ
ａｔ
ｓ
ｓ
Ｑ ＝ Ｑ ＝ Ｑ ＝ （Ｃ － Ｃ ）?（Ｂ ＋ Ｂ ），Ｈ ＝ Ｃ － ＢＱ （３９）
Ｐ Ｔ Ｐ Ｍ Ｐ Ｍ Ｐ Ｐ ｐ Ｔ
采用上述计算程序，只要迭代次数足够多，计算总是收敛的。在一般情况下，经过几次迭代就可
以满足计算精度要求。但在个别情况下，当空气阀排气孔径设计过小时，为了保证计算收敛，需调整
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