Page 18 - 2023年第54卷第8期

室面积确定后，引水道水头损失的增加对稳定是有利的；式（２３）与式（２４）一起构成了系统稳定的充要
条件，但它们各自反映的水头损失对稳定的影响却存在一定矛盾，这是托马公式带给人们的第一个困
惑。其次，式（ ２４）表明调压室后的压力管道与尾水道的水头损失对稳定是不利的，而几乎所有针对实
际系统的小波动过渡过程数值分析表明，压力管道与尾水道水头损失的增加可显著加快波动衰减。调
压室后的压力管道与尾水道的水头损失对稳定确实不利吗？为什么与实际数值计算情况不符？这是托
马公式带给人们的第二个困惑。
满足三阶系统稳定性的充要条件为：ａ＞０、ａａ＞ａ、ａ＞０。这里我们重点关注条件 ａ＞０，将其
１ １ ２ ３ ３ ３
化简后，可得：
１
ｈ ＋ ｈ ＋ ｈ ＞ （Ｚ － Ｚ ） （２５）
ｗ０ ｗｍ０ ｗｄ０ Ｕ Ｄ
３
比较式（２３ａ）与式（２５），不难发现，二者是互相矛盾的，由于式（２３ａ）与式（２５）分别是二阶系统
与三阶系统稳定的充要条件，也就是说二阶系统与三阶系统稳定性几乎是截然相反的。对于实际输水
发电系统，水道水头损失不可能超过静水头的 １?３，即无论调压室后的压力管道与尾水道长短，只要
构成了三阶系统，同时该三阶系统采用等出力调节运行方式，无论调压室断面多大，系统是恒不稳定
的，调压室临界稳定断面不存在！这可能是托马公式带给人们最大的困惑。
对于三阶系统，如果调压室面积无穷大，三阶系统还可简化为一阶的水库—水轮机系统，直接得
到方程的扰动解：
ｇｆｆ Ｈ － Ｈ ｈ ｈ
２３ Ｕ ０ Ｄ ０ ｗｍ ０ ｗｄ ０
（ － ２ － ２ ）ｔ
Ｌ ｆ＋ Ｌ ｆ Ｑ Ｑ Ｑ （２６）
ｑ＝ ｑｅ ２３ ３２ ０ ０ ０
ｔ ０
式中：系统产生流量 ｑ 的初始扰动；ｑ为扰动产生后的发展过程，直接呈幂指数型式发散。式（２６）从
０
ｔ
另一角度说明了等出力调节系统是不稳定的动力系统，不存在调压室临界稳定断面。
二阶系统来源于三阶系统的简化。教科书中曾经解释：对于含调压室的输水发电系统，Ｌ、Ｌ 相
２
３
对于 Ｌ较小，其内水体惯性可忽略不计，由此三阶系统可简化为二阶系统，从而在理论上得到了托马
１
临界稳定断面。这种关于三阶系统可简化为二阶系统的解释比较牵强，从大量水电工程建设实际来
看，Ｌ 与 Ｌ 之和占比大都超过了 Ｌ的 １０％，对于抽水蓄能电站而言，由于水头相对较高，占比甚至
２ ３ １
可能超过 ５０％。当然，这并不是本质性差别，Ｌ 与 Ｌ 在电站输水系统中是客观存在的，将其忽略后
２ ３
得到的结论，如果只是涉及对结论的定量影响，而非颠覆性评价，这种忽略是可以接受的，但如果忽
略后得到了完全相反的结论，这种忽略就值得商榷了。
３ 弹性水体系统稳定性判别准则

以上关于托马断面的分析中，动力方程采用了刚性水体假设。对于含调压室的输水发电系统，等
出力调节模式下，刚性水体是不可能稳定的，从式（２６）的结果可以看出，这是一个显见的结论。主流
的学术观点认为调压室后的压力管道与机组后的尾水道属于弹性水体范畴，弹性水体中压力变化主要
由水锤波引起，水锤波在压力管道中的传播反射，导致了管道中的压力、流量在空间上的不均匀分
布，从而使研究变的非常复杂。直接采用调压室水位变化近似反映机组水头变化，尽管得到了一些与
常识不符的结论，但毕竟也是解决问题的一种途径，这估计是百余年来人们一直致力于托马公式的改
进而不愿意放弃的主要原因。
对于实际弹性水体的有压输水系统，如果考虑调节过程中压力管道中水锤波的传播与反射，等出
力调节模式下，系统是否能够稳定，尚需要慎重分析。实际弹性水体的压力管道水流动力方程与连续
方程分别为 ［２］ ：
 Ｈ １  Ｑ ｆ Ｑ Ｑ
０
＋ ＋ ＝ ０ （２７）
２
 ｘ ｇｆ  ｔ ２ｇＤｆ
２
 Ｈ ｃ Ｑ
＋ ＝ ０ （２８）
 ｔ ｇｆ  ｘ
— ９ ０ —
２