Page 17 - 2023年第54卷第8期

式（１３）对应的特征方程为：
３
２
λ ＋ ａλ ＋ ａλ ＋ ａ＝ ０ （１４）
３
１
２
式（ １４）中：
ｇｆｈ ｇｆｆ Ｈ － Ｈ Ｄ０ ｈ ｗｍ０ ｈ ｗｄ０
２ ３
Ｕ０
１ ｗ０
ａ＝ ２ － （ － ２ － ２ ） （１５）
１
Ｌ Ｑ Ｌｆ ＋ Ｌｆ Ｑ ０ Ｑ ０ Ｑ ０
１
０
２ ３
３ ２
１ ｇｆｆ ｇｆ １ ｇｆｈ ｇｆｆ Ｈ － Ｈ Ｄ０ ｈ ｗｍ０ ｈ ｗｄ０
１
１ ｗ０
２ ３
Ｕ０
２ ３
ａ＝ ＋ － ２ α １ （ － ２ － ２ ） （１６）
２
ＦＬｆ ＋ Ｌｆ Ｌ Ｆ Ｌ Ｑ Ｌｆ ＋ Ｌｆ Ｑ ０ Ｑ ０ Ｑ ０
３ ２
３ ２
１
２ ３
０
１
２ ３
１ ｇｆ ｇｆｆ ｈ Ｈ － Ｈ ｈ ｈ
ａ＝ １ ２ ３ ［２ ｗ０ － （ Ｕ０ Ｄ０ － ２ ｗｍ０ － ２ ｗｄ０ ）］ （１７）
３
ＦＬＬｆ ＋ Ｌｆ Ｑ Ｑ Ｑ Ｑ
１ ２ ３ ３ ２ ０ ０ ０ ０
忽略调压室至机组之间压力管道与机组之后尾水管道水体惯性，式（ １３）可简化为二阶动力系统：
１ １
Ｈ － Ｈ Ｄ０ ｈ ｗｍ０ ｈ ｗｄ０ Ｆ
Ｕ０
Ｆ（ － ２ － ２ ） ｚ
·
ｘ ＝ Ｂｘ 其中： Ｂ ＝ Ｑ ０ Ｑ ０ Ｑ ０ ， ｘ ＝ ｑ [ ] （１８）
ｇｆ ｇｆｈ １
－ １ － ２ １ ｗ０
Ｌ Ｌ Ｑ
１ １ ０
式（ １８）对应的特征方程为：
２
λ ＋ ｂλ ＋ ｂ＝ ０ （１９）
２
１
其中：
ｇｆｈ Ｑ ０
１ ｗ０
ｂ＝ ２ － （２０）
１
Ｌ Ｑ Ｆ（Ｈ － Ｈ － ２ ｈ － ２ ｈ ）
１ ０ Ｕ０ Ｄ０ ｗｍ０ ｗｄ０
ｇｆ ２ｈ ｗ０
１
ｂ＝ （１ － ） （２１）
２
ＬＦ Ｈ － Ｈ － ２ｈ － ２ｈ ｗｄ０
ｗｍ０
Ｕ０
Ｄ０
１
线性化后含调压室水电站输水发电动力系统是否与原非线性系统具有同样的稳定性，李雅普诺夫
给出了以下两个定理 ［１］ ：
定理一 若一次近似方程组的特征方程所有特征值实部均为负，则原方程零解渐近稳定。
定理二 若一次近似方程组的特征方程至少有一特征值实部为正，则原方程零解不稳定。
２．３ 托马临界稳定断面判别公式讨论 采用赫尔维茨（Ｈｕｒｗｉｔｚ）—鲁歇（Ｒｏｕｃｈｅ）判别法分别对动力系
统式（ １３）、（１８）进行稳定性判断。满足二阶系统稳定性的充要条件为：ｂ＞０、ｂ＞０，即：
１
２
Ｌｆ
１ １
Ｆ＞ （２２）
２ α ｇ（Ｚ － Ｚ － ｈ － ３ ｈ － ３ ｈ ）
ｗ０
ｗｍ０
Ｕ
Ｄ
ｗｄ０
１
ｈ ＋ ｈ ＋ ｈ ＜ （Ｚ － Ｚ ） （２３ａ）
ｗ０ ｗｍ０ ｗｄ０ Ｕ Ｄ
３
ｈ ＋ ３ｈ ＋ ３ｈ ＞Ｚ － Ｚ （２３ｂ）
ｗ０ ｗｍ０ ｗｄ０ Ｕ Ｄ
式（ ２３ａ）与式（２３ｂ）是 “或” 的关系，即满足其中任一式即可。对于水电站输水发电系统，水头损失
过大是极不经济的，一般满足式（ ２３ａ）、不满足式（２３ｂ），条件 ｂ＞０可自动满足。需说明的是，通常
２
的教科书中往往不提式（ ２３ｂ），这样会给人造成误解，似乎水头损失大到一定程度，系统必将失稳。
从下述的式（２４）可以知道，如果系统的水头损失增大到能够满足式（２３ｂ），则系统所需要的调压室稳
定断面为负值，即水头损失大到一定程度，系统恒稳定。式（ ２２）是著名的托马临界稳定条件，对应的
面积称为托马面积。即：
Ｌｆ
１ １
Ｆ ＝ （２４）
Ｔｈ
２ α ｇ（Ｚ － Ｚ － ｈ － ３ｈ － ３ｈ ）
ｗｄ０
Ｕ
Ｄ
ｗ０
ｗｍ０
式（ ２３ａ）意味着系统水头损失增大到一定范围，系统将失稳，即水头损失对系统稳定的影响可能
是不利的；而式（２４）则表明，引水道水头损失系数 α越大，所需要的调压室临界断面越小，即当调压
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