Page 19 - 2023年第54卷第8期

式中：Ｈ为测压管水头，ｍ；Ｄ为管道直径，ｍ；ｆ为达西－ 威斯巴哈摩阻系数。式（２７）、式（２８）为一
０
组双曲偏微分方程，忽略管道摩阻后，其通解为：
 
Δ Ｈ ＝ Ｈ － Ｈ ＝ Ｆ（ｔ ＋ ｘ?ｃ） ＋ ｆ（ｔ － ｘ?ｃ） （２９）
０
ｇ  
Δ Ｑ ＝ Ｑ － Ｑ ＝－ ［Ｆ（ｔ ＋ ｘ?ｃ） － ｆ（ｔ － ｘ?ｃ）］ （３０）
０
ｃｆ
  
式中：Ｈ、Ｑ 为管道初始水头与流量；Ｆ、 ｆ为两个波函数；Ｆ（ｔ ＋ ｘ?ｃ）表示以波速 ｃ沿 ｘ轴负向传播
０ ０

的水锤波； ｆ（ｔ － ｘ?ｃ）表示以波速 ｃ沿 ｘ轴正向传播的水锤波，管道中任一断面在任一时刻的压力与流
速的变化均取决于这两个波函数，波函数理论上可由管道进、出口边界条件确定。水锤反射系数的定
义为水锤反射波与入射波的比值，管道进口入流端反射系数 ｒ为：
Ｕ

ｆ ＺＲ ＋ ＺＲ
ｒ＝  Ｕ ＝ Ｕ Ｃ （３１）
Ｕ
Ｆ Ｕ ＺＲ － ＺＲ Ｃ
Ｕ
ｃ Δ Ｈ Ｕ
２
２
其中：ＺＲ ＝ 为无摩阻有压管道特征阻抗，ｓ?ｍ ；ＺＲ ＝ 为管道进口入流端水力阻抗，ｓ?ｍ 。管
Ｃ Ｕ
ｇｆ Δ Ｑ Ｕ
道出口出流端反射系数为 ｒ 为：
Ｄ

Ｆ ＺＲ － ＺＲ
ｒ＝  Ｄ ＝ Ｄ Ｃ （３２）
Ｄ
ｆ ＺＲ ＋ ＺＲ Ｃ
Ｄ
Ｄ
Δ Ｈ Ｄ
２
式中 ＺＲ ＝ 为管道出口入流端水力阻抗，ｓ?ｍ 。根据水力振动分析理论 ［２］ ：
Ｄ
Δ Ｑ Ｄ
ＺＲ － ＺＲ ｔａｎｈ（ γ Ｌ）
Ｕ
Ｃ
ＺＲ ＝ （３３）
Ｄ
ＺＲ Ｕ
１ － ｔａｎｈ（ γ Ｌ）
ＺＲ Ｃ
式中 γ为管道水锤传播常数，ｓ?ｍ。式（３１）（３２）（３３）联立可得：
２ γ Ｌ
ｒｒ＝ ｅ （３４）
Ｕ Ｄ
对于无摩阻系统，水力振动传播常数 γ可写为：
σ ＋ ｉ ω
γ ＝ （３５）
ｃ
式中：ω为管道中自由振动谐振频率，弧度?ｓ；σ为对应谐振频率的衰减因子，为实数；ｉ为虚数单
位。对于一个稳定的系统，扰动所产生的水力自激振荡均应最终消失，即 σ≤ ０。由式（３４）（３５）可得
到考虑水锤传播反射特性的弹性系统稳定性判断准则：
ｒｒ ＜１ ｉ ＝ １ ，２，３，… （３６）
Ｕ Ｄ ｉ
式中：水锤反射系数 ｒ与 ｒ 均为复数；下标 ｉ为组成系统的各管段。式（３６）表明，如系统稳定，组成
Ｕ
Ｄ
系统的各管段进、出口端水锤反射系数的乘积的模（绝对值）须小于 １。式（３６）虽然是针对无摩阻系统
得到的，但对于实际的有压水力输送管道而言，摩阻并不大，该公式的适用范围还是较广的，是满足
有压输水系统不发生水力自激振动的充分条件。
含调压室的水电站动力系统由上游引水道、压力管道、下游尾水道组成，则式（ ３６）可写为：
ｒ ｒ ＜１ （３７）
Ｕ１ Ｄ１
ｒ ｒ ＜１ （３８）
Ｕ２ Ｄ２
ｒ ｒ ＜１ （３９）
Ｕ３ Ｄ３
以上三式中，ｒ 、ｒ 分别为上、下游水库端水锤反射系数，均为 － １ ；ｒ 、ｒ 分别为调压室上、
Ｕ１
Ｄ３
Ｕ２
Ｄ１
下游水锤反射系数；ｒ 、ｒ 分别为机组上、下游水锤反射系数。调压室处水力阻抗满足 ［２］ ：
Ｕ３
Ｄ２
１ １ １
＝ ＋ （４０）
ＺＲ ＺＲ ＺＲ
Ｄ１ Ｕ２ Ｔ
— ９ ０ ３ —