Page 16 - 2023年第54卷第8期

２
为重力加速度，ｍ?ｓ。调压室至水轮机水流动力方程：
ＬｄＱ ２
２
Ｚ － Ｈ － ｈ ＝ （４）
Ｔ Ｕ ｗｍ
ｇｆ ｄｔ
２
式中：Ｈ 为水轮机前测压管水头，ｍ；ｈ 为调压室后压力管道水头损失，ｍ；ｆ为调压室后压力管道
Ｕ ｗｍ ２
２
面积，ｍ ；Ｌ为调压室后压力管道长度，ｍ。水轮机至下游尾水道水流动力方程：
２
ＬｄＱ ３
３
Ｈ － ｈ － Ｚ ＝ （５）
ｗｄ
Ｄ
Ｄ
ｇｆ ｄｔ
３
式中：Ｈ 为水轮机后测压管水头，ｍ；ｈ 为水轮机后压力尾水管道水头损失，ｍ；Ｚ 为水轮机下游尾
Ｄ
ｗｄ
Ｄ
２
水水位，ｍ；ｆ为水轮机后压力尾水管道面积，ｍ ；Ｌ为水轮机后压力尾水管道长度，ｍ。
３
３
当系统出现扰动后，为保证出力不变，机组采用等出力调节模式，并假设机组前后流速水头相
等、调节过程中效率不变，则等出力调节方程：
Ｑ（Ｈ － Ｈ ） ＝Ｑ （Ｈ － Ｈ ） ＝Ｃ （６）
２ Ｕ Ｄ ２０ Ｕ０ Ｄ０
式中下标 “０” 表示对应变量的初始状态。
以上得到的 ６个方程中与常规教科书不同之处在于多了式（４）与式（５），即考虑了调压室后压力管
道与机组尾水管道的水体惯性。
未扰动前的初始恒定状态（平衡态）方程：
Ｑ ＝ Ｑ ＝ Ｑ ＝ Ｑ ０ （７）
２０
３０
１０
Ｚ ＝ Ｚ － ｈ ＝ Ｈ ＋ ｈ ｗｍ０ （８）
ｗ０
Ｕ
Ｕ０
Ｔ０
Ｈ ＝ Ｚ ＋ ｈ ｗｄ０ （９）
Ｄ
Ｄ０
Ｈ － Ｈ ＝ Ｚ － Ｚ － ｈ － ｈ － ｈ ｗｄ０ （１０）
Ｕ０
Ｄ
Ｄ０
Ｕ
ｗｍ０
ｗ０
２．２ 含调压室动力系统小波动稳定分析方程（组） 根据李雅普诺夫稳定性定义，可在含调压室的水
电站输水发电系统中施加微小扰动，并在平衡点处进行线性化处理，将式（ １）至式（６）非 线 性方程
（组）简化为线性方程（组）。令：Ｚ ＝ Ｚ ＋ ｚ、Ｑ ＝ Ｑ ＋ ｑ、Ｑ ＝ Ｑ ＋ ｑ、Ｑ ＝ Ｑ ＋ ｑ、Ｈ ＝ Ｈ ＋ ｈ、Ｈ ＝
１
Ｔ０
３
３０
３
Ｕ
Ｄ
ｕ
Ｕ０
Ｔ
２
１０
１
２０
２
Ｈ ＋ ｈ。上述定义中，变量意义同前，扰动量均采用小写字母表示。
ｄ
Ｄ０
对等出力控制方程（６）进行线性化处理后，可得：
Ｑ ０
ｑ＝－ （ｈ－ ｈ） （１１）
２ ｕ ｄ
Ｈ － Ｈ
Ｕ０ Ｄ０
考虑式（ ７）至式（１０）以及水头损失与流速的平方成正比，对式（１）至式（６）进行线性化处理后，并
联立式（１１），可得描述含调压室的水电站输水发电系统的三阶线性常微分方程，其等价的一阶线性常
微分方程组为：
ｄｚ １ １
＝ ｑ－ ｑ
ｄｔ Ｆ １ Ｆ ２
ｄｑ ｇｆ ｇｆｑ
１ １ １ １
＝－ ｚ － ２ｈ （１２）
ｄｔ Ｌ ｗ０ ＬＱ
１ １ ０
ｄｑ ｇｆｆ ｇｆｆ Ｈ － Ｈ Ｄ０ ｈ ｗｍ０ ｈ ｗｄ０
Ｕ０
２
２ ３
２ ３
＝ ｚ ＋ （ － ２ － ２ ）ｑ
ｄｔ Ｌｆ ＋ Ｌｆ Ｌｆ ＋ Ｌｆ Ｑ ０ Ｑ ０ Ｑ ０ ２
２ ３
３ ２
３ ２
２ ３
式（ １２）可以表示为如下向量形式：
１ － １
０
Ｆ Ｆ
ｚ
ｇｆ ｇｆｈ
· １ １ ｗ０
ｘ ＝ Ａｘ 其中： Ａ ＝ － － ２ ０ ， ｘ ＝ ｑ （１３）
Ｌ １ Ｌ Ｑ ０ １
１
ｑ
ｇｆｆ ｇｆｆ Ｈ － Ｈ Ｄ０ ｈ ｗｍ０ ｈ ｗｄ０ ２
２ ３
２ ３
Ｕ０
０ （ － ２ － ２ ）
Ｌｆ ＋ Ｌｆ Ｌｆ ＋ Ｌｆ Ｑ ０ Ｑ ０ Ｑ ０
３ ２
２ ３
２ ３
３ ２
０
— ９ ０ —